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1、第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,二、基本积分表,三、不定积分的性质,一、原函数与不定积分的概念,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不定积分的概念与性质,第四章,一、原函数与不定积分的概念,引例:一个质量为 m 的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x),满足,在区间 I 上的一个原函数.,则称 F(x)为f(x),如引例中,的原函数有,问题:,1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?,2.若原函数存在,它如何表
2、示?,定理1.,存在原函数.,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2.,原函数都在函数族,(C 为任意常数)内.,证:1),又知,故,即,属于函数族,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,定义 2.,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号;,被积函数;,被积表达式.,积分变量;,(P183),若,则,(C 为任意常数),C 称为积分常数不可丢!,例如,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,机动 目录 上页 下
3、页 返回 结束,的积分曲线.,例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.质点在距地面,处以初速,力,求它的运动规律.,解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻 t 质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,垂直上抛,不计阻,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,二、基本积分表(P186),从不定积分定义可
4、知:,或,或,利用逆向思维,(k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,解:原式=,例4.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、不定积分的性质,推论:若,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求,解:原式=,例7.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表(见P 186
5、),2.直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.证明,2.若,(P191题4),提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,3.若,是,的原函数,则,提示:,已知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.求下列积分:,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6.求不定积分,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7.已知,求 A,B.,解:等式两边对 x 求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P190 1(5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);2;3,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,
