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1、第五章学习目标,理解数字系统的表示方法掌握IIR滤波器的基本结构及各种结构的特点掌握FIR滤波器的直接型、级联型、理解频率抽样型结构,本章作业练习,P146:12345(d)6(d)(e)(f)8,第五章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法,5.1 引言,数字滤波器的系统函数：,常系数线性差分方程:,时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述,系统实现,系统通过对输入序列x(n）进行一定的运算操作，而得到输出序列.由差分方程只需三种运算：加法、单位延迟、乘常数。因此实现的方法有两种：（1）利用通用计算机编程，即软件实现;（2）数字信号处理器（DSP）即专用硬件实
2、现。,由系统函数等价的形式有多种,同一系统函数实现时对应多种实现结构，实现结构影响运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成等，因此研究实现信号处理的算法是一个很重要的问题。网络实现结构实际表示的是一种运算。,5.2 用信号流图表示网络结构,由差分方程可知数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。三种基本运算用流图表示如下图所示：,方框图,信号流图,例：二阶数字系统,方框图结构,流图结构,几个基本概念：a）输入节点或源节点，所处的节点；b）输出节点或阱节点，所处的节点；c）分支节点，一个输入，一个或一个以上输 出的节点；将值分配到每一支路;d）相加器（节点)或和点，有两个或两个以 上
3、输入的节点。*支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1；任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。,信号流图的描述术语即运算规则,节点,源节点,支路,阱节点,网络节点,分支节点,输入支路,和节点-相加器,节点的值=所有输入支路的值之和,输出支路,支路的值=支路起点处的节点值 传输系数,1,例如，和点：1，5；分点：2，3，4；源点：6；阱点：7,2,3,5,4,6,7,a1y(n-1),y(n),基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs),不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图
4、(Primitive Signal Flow Graghs)。(1)信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1(2)流图环路中必须存在延时支路(3)节点和支路的数目是有限的。,例5.2.1求图5.2.2(a)信号流图决定 的系统函数H(z)。,解 将5.2.1式进行z变换，得到,联立求解得到,复杂结构可用梅森公式直接写出（见附录A）,网络结构分两类,一般将网络结构分成两类，一类称为有限长脉冲响应网络，简称FIR(Finite Impulse Response)网络，另一类称为无限长脉冲响应网络，简称IIR(Infinite Impulse Response)网络。FIR网络中一
5、般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：,其单位脉冲响应h(n)是有限长的,另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为 y(n)=ay(n-1)+x(n)其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。,IIR系统的特点 1、单位冲激响应h（n）是无限长的。2、系统函数H（z）在有限Z平面（）上有极点存在。3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。,本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型,5.3 无限长脉冲响应基本网络结构,1
6、、直接型（1）系统函数,（2）差分方程（N阶）,(3)结构流图设M=N=2按差分方程可以写出。,按写出一般情况下，由差分方程可以写出,(4)特点 第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:,第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:,可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。*共需（M+N）个存储延时单元。,例5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为,画出该滤波器的直接型结构。解 由H(z)写出差分方程如下：,图5.3.2 例5.3.1图,2、级联型先将系统函数按零、极点进行因式分解,式中A是常数，Cr和dr，分别表示零点和极点。由于多项式的系数是实数，Cr和dr是实数或者是共轭成对的
7、复数，将共轭成对的零点(极点)放在一起，形成个二阶多项式并构成二阶网络Hj(z)，Hj(z)如下式：,式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。于是H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z)式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。,(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构,当（M=N=2）时,A,B,当（M=N=4）时,当（M=N=6）时,例5.3.2 设系统函数H(z)如下式：,试画出其级联型网络结构。解 将H(z)分子分母进行因式分解
8、，得到,为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络。,级联型结构的特点,级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。调整分子多项式的三个系数可以改变一对零点的位置，调整分母多项式的两个可以改变一对极点的位置。因此，相对直接型结构，调整方便是优点。级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。,式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为,式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。其输出Y(z)表示为 Y
9、(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z),如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，可得到IIR并联型结构。,3.并联型,并联型的特点,在这种并联型结构中，每一个一阶网络决定 一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共扼极点，因此调整极点位置方便，但调整零点 位置不如级联型方便。各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不像直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最高。,例5.3.3 画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解 将例5.3.2中H(z)展成
10、部分分式形式：,将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图所示。,图5.3.5 例5.3.3图,小结,直接型优点：直接型结构简单直观，用的延迟器最少(为N和M中较大者的个数)。缺点：1.系数对滤波器件能的控制关系不直接，因此调整不方便o 2.具体实现滤波器时，系数的量化误差将使滤波器的频响产生很大的改变，甚至影响到系统的稳定性；直接型结构一般用以实现低阶系统。对高阶系统，级联和并联结构更具优越性。,特点；1.级联结构便于准确地实现系统的零、极点，也便于进行滤波器性能的调整。从总体看，容易控制零点而难于调整极点：2.级联结构的零极点配对方式和基本节级联次序具有很大的灵活性，但由于有限字长的
11、影响，对于不问的排列，运算误差各不相同。3.每个基本节都有相同的结构，硬件实现时可以用一个二阶节进行时分复用，故只需很少的序储单元和运算部件。,运算速度快各基本节的误差互不影响，总误差低于级联型结构的总LX蟹从整体卜看，并联结构容易调整极点位置，不容易直接控制零点：,5.4有限长脉冲响应（FIR）基本网络结构,FIR系统的描述,Z=0处为（N-1）阶极点，,FIR系统的特点：1、h（n）在有限个n值处不为零。2、H（z）在,处收敛，极点全部在Z=0处。,，有（N-1）阶零点。,3、FIR网络结构为非递归结构，即没有反馈支路，没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其
12、系统函数H(z)和差分方程为,1、直接型（卷积型、横截型）,它就是线性移不变系统的卷积和公式,2、级联型,将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现）,级联型的特点,系数比直接型多，所需的乘法运算多,每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点,例5.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。,解 将H(z)进行因式分解，得到：H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6
13、+2z-1+3z-2)其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。,图5.4.2 例5.4.1图,3.频率采样结构,回忆在第三章的频域抽样定理，频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)克由其频域采样值H(k)内插恢复。满足下面关系式：,参见3.3.4式,频域采样的内插恢复公式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。问题：IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构。,子系统：,是N节延时单元的梳状滤波器,在单位圆上有N个等间隔角度的零点：,单位圆上有一个极点：,与第k个零点相抵消，
14、使该频率 处的频率响应等于H(k),单位圆上不能有极点，而且FIR系统除零点之外没有极点！,每个一阶网络在单位园上有一个极点，这些极点正好被梳状滤波器的零点抵消。,图5.4.3 FIR滤波器频率采样结构,频率抽样型结构的优缺点,(1)在频率采样点，H(ejk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。,频率采样结构亦有两个缺点：(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极
15、点对消来保证的。当系数量化时，极点移动，因此，系统稳定裕度为零，实际上是不能用的。(2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。,修正频率抽样结构,将零极点移至半径为r的圆上：,解决稳定性的方法,为使系数为实数，将共轭根合并,由对称性：,又h(n)为实数，则,将第k个和第(N-k)个谐振器合并成一个实系数的二阶网络：,解决系数为复数的方法,当N为偶数时，还有一对实数根,k=0,N/2处：,N为奇数时,只有一个实数根在 k=0处：z=r,频率采样结构的优缺点,一般来说，频率采样结构比较复杂，所需的存储器
16、及乘法器也比较多，但频率采样结构也有其优点：1.如果多数采样值H(k)为零(例如窄带低通或带通滤波滤波器的情况)。则对应的二阶节可省去，使结构大为简化 2.在信号频谱分析中，有一种方法是用一组窄带滤波器同时将信号的各种频率分量分别滤出来，这时这些并列的滤波器用频率采样结构 3.频率采样结构的每个部分都具有很高的规范性，二阶节很多时，设计也并不复杂。,如果，的长为N1，h（n）的长为N2。将 补L-N1个零值点，h（n）补L-N2零值点，只要L N1+N2-1,就有 由卷积定理得Y（k）=X（k）H（k）所以有,4、快速卷积结构,这样，就可以得到FIRDF的快速卷积结构,这里的DFT和IDFT均可以利用FFT算法。,5、线性相位FIR滤波器的结构,FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，,且满足：,偶对称：,或奇对称：,即对称中心在(N-1)/2处,则这种FIR滤波器具有严格线性相位。,N为奇数时,h(n)偶对称，取“+”,h(n)奇对称，取“”，且,N为偶数时,数字滤波器可以用差分方程、单位抽样响应及系统函数等表示。对于研究系统的实现方法，即它的运算结构来说，用信号流图表示最为直接。同一种数字滤波器可以用多种不同结构的网络实现。在不考虑量化影响时，这些不同的结构是等效的；但在考虑量化影响时，采用何种网络结构将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等重要性能。,
