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1、主成分分析与因子分析,山西医科大学卫生统计教研室 刘桂芬,多变量大样本分析中，变量间存在共线性，增加了分析的复杂性。若分别分析各个指标，分析有可能是孤立的，而不是综合的；盲目地减少指标又有可能损失很多信息，得出错误结论。欲采用较少指标，反映原资料大部分信息，可采用主成分分析和因子分析。,主成分分析,概 念,主成分分析(principal component analysis)是将分散在一组变量上的信息,集中到某几个综合指标(主成分)上的一种探索性统计分析方法。它利用降维的思想,将多个变量化为少数几个互不相关的主成分,从而描述数据集的内部结构。,主成分的几何意义,x1,x2,p1,p2,x1,对
2、应m个变量的q个主成分如下:,其中()分别是变量相关阵的前q个特征根对应的特征向量。的方差分别是q个特征根12q。()是第i个变量在各个主成分上的载荷。而实际上载荷往往是指，它是第i个变量在各个标准化主成分上的载荷。据此可用最小二乘法解得标准主成分得分。标准化主成分的方差为1。,PCA常用统计量：.特征根i.各成分贡献率.前各成分累计贡献率.特征向量 各成分表达式中标准化原始变量的系数向量，就是各成分的特征向量。,因子分析,一、因子分析模型,设X=(x1,x2,xp)为可观测的随机变量，且有f=(f1,f2,fm)为公共（共性）因子（common factor），简称因子（factor）,e=
3、(e1,e2,ep)为特殊因子（specific factor）f和e均为不可直接观测的随机变量=(1,2,p)为总体x的均值A=(aij)p*m为因子负荷（载荷）（factor loading）矩阵,通常先对x作标准化处理，使其均值为零，方差为这样就有假定（）fi的均数为，方差为；（）ei的均数为，方差为i；（）fi与ei相互独立则称x为具有m个公共因子的因子模型,如果再满足（）fi与fj相互独立（ij），则称该因子模型为正交因子模型。正交因子模型具有如下特性：x的方差可表示为设,（）hi2是m个公共因子对第i个变量的贡献，称为第i个共同度（communality）或共性方差，公因子方差（c
4、ommon variance）（）i称为特殊方差（specific variance），是不能由公共因子解释的部分,因子载荷（负荷）aij是随机变量xi与公共因子fj的相关系数。设称gj2为公共因子fj对x的“贡献”，是衡量公共因子fj重要性的一个指标。,二、因子分析的步骤,1.输入原始数据xn*p，计算样本均值和方 差，进行标准化计算（处理）；2.求样本相关系数矩阵R=(rij)p*p；3.求相关系数矩阵的特征根i(1,2,p0)和相应的标准正交的特征向量li；,4.确定公共因子数；5.计算公共因子的共性方差hi2;6.对载荷矩阵进行旋转，以求能更好地解释公共因子；7.对公共因子作出专业性的
5、解释。,三、因子分析提取因子的方法,主成分法（principal component factor）,每一个公共因子的载荷系数之平方和等于对应的特征根，即该公共因子的方差。,极大似然法（maximum likelihood factor）假定原变量服从正态分布，公共因子和特殊因子也服从正态分布，构造因子负荷和特殊方差的似然函数，求其极大，得到唯一解。,主因子法（principal factor）设原变量的相关矩阵为R=(rij)，其逆矩阵为R-1=(rij)。各变量特征方差的初始值取为逆相关矩阵对角线元素的倒数，i=1/rii。则共同度的初始值为(hi)。,以(hi)2代替相关矩阵中的对角线上
6、的元素，得到约化相关矩阵R。,R的前m个特征根及其对应的单位化特征向量就是主因子解。,迭代主因子法（iterated principal factor）主因子的解很不稳定。因此，常以估计的共同度为初始值，构造新的约化矩阵，再计算其特征根及其特征向量，并由此再估计因子负荷及其各变量的共同度和特殊方差，再由此新估计的共同度为初始值继续迭代，直到解稳定为止。,因子载荷（负荷）aij是随机变量xi与公共因子fj的相关系数。设 称gj2为公共因子fj对x的“贡献”，是衡量公共因子fj重要性的一个指标。,四、因子旋转,目的：使因子负荷两极分化，要么接近于0，要么接近于1。常用的旋转方法：,（1）方差最大正
7、交旋转（varimax orthogonal rotation）基本思想：使公共因子的相对负荷（lij/hi2）的方差之和最大，且保持原公共因子的正交性和公共方差总和不变。可使每个因子上的具有最大载荷的变量数最小，因此可以简化对因子的解释。,（2）斜交旋转（oblique rotation）因子斜交旋转后，各因子负荷发生了较大变化，出现了两极分化。各因子间不再相互独立，而彼此相关。各因子对各变量的贡献的总和也发生了改变。适用于大数据集的因子分析。,五、因子得分,Thomson法，即回归法 回归法得分是由Bayes思想导出的，得到的因子得分是有偏的，但计算结果误差较小。,Bartlett法 Bartlett因子得分是极大似然估计，也是加权最小二乘回归，得到的因子得分是无偏的，但计算结果误差较大。因子得分可用于模型诊断，也可用作进一步分析的原始资料。,六、因子分析应用的注意事项,应用条件（1）变量是计量的，能用线性相关系数（Pearson积叉相关系数）表示。（2）总体的同质性,样本量 没有估计公式。至少要保证样本相关系数稳定可靠。因子数目 一般认为，累积贡献要达到80%以上。但要注意Heywood现象。,谢谢,
