《《代数结构》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《代数结构》PPT课件.ppt（202页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、2023/7/9,1,第五章 代数结构,本章主要内容代数系统的引入，运算的性质：封闭性、结合性、分配性、交换性；主要的代数系统：广群、半群、独异点、群、子群；代数系统之间的关系；交换群和循环群；陪集、拉格朗日定理；同态映射、同构映射；环、同态象、域。学习要求本章从一般代数系统的引入出发，研究一些特殊的代数系统中运算的性质。通过本章的学习使学生了解代数系统的结构与性质。,2023/7/9,2,本章将从一般代数系统的引入出发，研究一些特殊的代数系统，而这些代数系统中的运算具有某些性质，从而确定了这些代数系统的数学结构。,2023/7/9,3,5-1 代数系统的引入,一、集合上的运算及封闭性一元运算
2、：f1:a,aR,a0 f2:a a,aR f3:a-a,aR二元运算：f4:a,ba+b,a,bR f5:a,bab,a,bR f6:R2R 三元运算：f7：三种颜色三种颜色混合色 AA A是各种颜色的集合。,事实这些例子的共同特征就是运算结果还在原来的集合中。称具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。,2023/7/9,4,很容易举出不封闭运算的例子：一架自动售货机，能接受一角硬币和二角五分硬币，而所对应的商品是桔子水、可口可乐和冰淇淋。当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按表5-1.1所示供应相应的商品。表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。这个例子中的二元运算*就是
3、集合一角硬币，二角五分硬币上的不封闭运算。,2023/7/9,5,设A=红色，黄色，蓝色f7：三种颜色三种颜色混合色f7是不封闭的。f8是I上的除法运算，f8是不封闭的。,2023/7/9,6,定义5-1.1 如果 为An到B的一个函数，则称 为集合A上的n元运算（operater）。如果 BA，则称该n元运算在A上封闭。,在定义中，当n=1时，f 称为集合A上的一元运算；当n=2时，f 称为集合A上的二元运算。在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、“”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c；若*是一元运算，a的运算结果记作*a或*(a)。,2023/7/9,7,设A=1,
4、a,，其中，a是非零实数。f：AA，定义为：aA，f(a)=。容易看出f是A上的一元运算。又如，f：NNN，定义为：m,nN，f(m,n)=mn，f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自然数集合N上的二元运算。通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的运算必须满足以下两点：A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是惟一的。A中任何元素的运算结果都属于A。通常称为运算在A是封闭的。,2023/7/9,8,【例5.1.1】设N为自然数集合，*和是NN到N映射，规定为：m,n
5、N，mn=minm,n mn=maxm,n则和是N上的二元运算。【例5.1.2】设Nk=0,1,k-1。Nk上的二元运算+k定义为：对于Nk中的任意两个元素i和j，有 称二元运算+k为模k加法。,2023/7/9,9,2023/7/9,10,运算的表示 表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如 f(a)=，,运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算，特别当有限集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时，借助于运算表来定义二元运算会带来方便。另外，运算表还便于对二元运算的某些性质进行讨论，更形象地了解二元
6、运算的有关特征。设N4=0,1,2,3，N4上的模4加法4可以用运算表表示，它的运算表如表所示。N4上的模4乘法4也可以用运算表表示，它的运算表如表所示。,2023/7/9,11,2023/7/9,12,二、代数系统,定义5-1.2 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算 f1,f2,fk 所组成的系统称为一个代数系统（代数结构），记为。,代数结构常用一个多元序组来表示,其中 S是载体,，为各种运算。有时为了强调S有某些元素地位特殊,也可将它们列入这种多元序组的末尾。,根据定义，一个代数系统需要满足下面两个条件：有一个非空集合A。有一些定义在集合A上的运算。集合和定义在集合A上的运算是一
7、个代数系统的两个要素，缺一不可。,2023/7/9,13,【例】设B是一个集合，A=P(B)是A幂集合。集合的求补运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二元运算。于是构成一个代数系统，该代数系统常称为集合代数。【例】设R-0是全体非零实数集合，*是R-0上二元运算，定义为：a,b R-0，a*b=b。则是代数系统。,2023/7/9,14,虽然集合不同，运算不同，但是它们是一些具有共同运算规律的运算，研究 就相当于研究，,5-2 运算及其性质,在前面考察几个具体的代数系统时，已经涉及到我们所熟知的运算的某些性质。下面，着重讨论一般二元运算的一些性质。,2023/7/9,15,定义5-
8、2.1 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,yA，都有x*yA，则称二元运算*在A上是封闭的。,【例5.2.1】设A=x|x=2n,nN,问乘法运算是否封闭？对加法运算呢？解：对于任意的2r,2sA，r，sN，因为2r2s=2r+sA所以乘法运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因为至少有2+22=6A,2023/7/9,16,二、可交换性,定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,yA，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可交换的。,【例5.2.2】设Q是有理数集合，是Q上的二元运算，对任意的a,bR，ab=a+b-ab，问运算是否可交换。解：因
9、为 ab=a+b-ab=b+a-ba=ba 所以运算 是可交换的。,2023/7/9,17,三、可结合性,例如R上的加法运算和乘法运算都是可结合运算，R上的减法运算和除法运算都是不可结合运算。,定义5-2.3 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,y,zA，都有(x*y)*z=x*(y*z)，则称二元运算*在A上是可结合的。,实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，满足结合律；矩阵的加法和乘法也是二元运算，也满足结合律；向量的内积、外积是二元运算，但不满足结合律。,2023/7/9,18,【例5.2.3】设*是非空集合A上的二元运算，定义为：a,bA，ab=b。证明运算*是可结合的。
10、证明：对于任意的a,b,cA，有(ab)c=c，而a(bc)=ac=c，故有(ab)c=a(bc)，即运算是可结合的。当二元运算*在A上适合结合律时，在只有该运算符的表达式中，表示运算顺序的括号常被省略。所以将(x*y)*z=x*(y*z)常写成x*y*z。这样，可以令,2023/7/9,19,当运算*满足结合律时，an的也可以递归定义如下：a1=a an+1=ana 由此利用数学归纳法，不难证明下列的公式：aman=am+n(am)n=amn,2023/7/9,20,四、可分配性定义5-2.4 设*和是非空集合A上的两个二元运算，如果对于任意a,b,cA，有a*(bc)=(a*b)(a*c)
11、(左分配律)(bc)*a=(b*a)(c*a)(右分配律)则称运算*对运算是可分配的。也称运算*对运算满足分配律。,【例5.2.4】设A=0,1，*和都是A上的二元运算，定义为：00=1*1=0，0*1=1*0=1 00=01=10=0，11=1 则容易验证对于运算*是可分配的，但*对于运算是不可分配的。如1*(01)=10=(1*0)(1*1),2023/7/9,21,定理 设*和是非空集合A上的两个二元运算，*是可交换的。如果*对于运算满足左分配律或右分配律，则运算*对于运算是可分配的。证明：设*对于运算满足左分配律，且是可交换的，则对于任意a,b,cA，有(bc)a=a(bc)=(ab)
12、(ac)=(ba)(ca)即(bc)a=(ba)(ca)故对于运算是可分配的。同理可证另一半。,2023/7/9,22,五、吸收律定义5-2.5 设*和是非空集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于任意a,bA，有a*(ab)=aa(a*b)=a则称运算和运算满足吸收律。,2023/7/9,23,【例5.2.5】设N为自然数集合，*和是集合N上的二元运算，定义为：aN，bN a*b=max(a,b)，ab=min(a,b)验证运算*和适合吸收律。解：aN，bN 若ab，a*(ab)=a*min(a,b)=a*b=max(a,b)=a 若ab，a*(ab)=a*min(a,b)=a*a=max(
13、a,a)=a 若ab，a*(ab)=a*min(a,b)=a*a=max(a,a)=a 即 a*(ab)=a 同理可证a(a*b)=a 因此运算*和适合吸收律。,2023/7/9,24,六、等幂律定义5-2.6 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意的aA，有aa=a，则称运算*是幂等的或运算满足幂等律。如果A的某个元素a满足aa=a，则称a为运算*的幂等元。易见，集合的并、交运算满足幂等律，每一个集合都是幂等元。定理 设是非空集合A上的二元运算，a为运算的等幂元，对任意的正整数n，则an=a。,2023/7/9,25,总结定义5-2.15-2.6 设和为集合A上的二元运算:若xy(x,y
14、AxyA),则称在A上封闭。若xy(x,yAxy=yx),则称满足交换律。若xyz(x,y,zAx(y z)=(xy)z),则称 满足结合律。若xyz(x,y,zAx(yz)=(xy)(xz)，则称对满足左分配律。若xy(x,yAx(xy)=x,x(xy)=x)，则称和满足吸收律。若x(xAxx=x)，则称满足等幂律。,2023/7/9,26,七、幺元定义5-2.7 设是定义在集合A上的二元运算，如果有一个elA，对于任意的aA，有el a=a，则称el为A中关于运算的左单位元或左幺元；如果有一个erA，对于任意的aA，有a er=a，则称er为A中关于运算的右单位元或右幺元；如果在A中有一个
15、元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为A中关于运算的单位元或幺元。,2023/7/9,27,【例5.2.6】设集合S=,，在S上定义的两个二元运算*和 如表5-2.1所示。试指出左幺元或右幺元。,解 由表5-2.1可知,都是S中关于运算*的左幺元，而是S中关于运算的右幺元。,2023/7/9,28,定理5-2.1 设是定义在集合A上的二元运算，el为A中关于运算的左幺元，er为A中关于运算的右幺元，则el=er=e，且A中的幺元是惟一的。证明：因为el和er分别是A中关于运算的左幺元和右幺元，所以el=el er=er=e设另一幺元e1A，则e1=e1 e=e,2023/7/9,29,八、零
16、元定义5-2.8 设是集合A上的二元运算，如果有一个lA，对于任意的aA都有l a=l，则称l为A中关于运算的左零元；如果有一个rA，对于任意的aA，都有a r=r，则称r为A中关于运算的右零元；如果A中有一个元素A，它既是左零元又是右零元，则称为A中关于运算的零元。,2023/7/9,30,定理5-2.2 设是集合A上的二元运算，l为A中关于运算的左零元，r为A中关于运算的右零元，则l=r=，且A中的零元是惟一的。证明：因为l和r分别是A中关于运算的左零元和右零元，所以l=lr=r=设另一零元1A，则1=1=定理5-2.3 设是集合A上的二元运算，集合A中元素的个数大于1。如果A中存在幺元e
17、和零元，则e。证明：用反证法。设e=，那么对于任意的aA，必有 a=ea=a=，于是A中的所有元素都是零元，与A中至少有两个元素矛盾。,2023/7/9,31,定义5-2.9 设是集合A上的二元运算，e为A中关于运算的幺元。如果对于A中的元素a存在着A中的某个元素b，使得ba=e，那么称b为a的左逆元；如果存在A中的某个元素b，使得ab=e，那么称b为a的右逆元；如果存在着A中的某个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b为a的逆元。a的逆元记为a1。如果aA存在逆元a1A，那么称a为可逆元。一般地说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元。一个元素可以有左逆元而没有右逆元，同样可以
18、有右逆元而没有左逆元。甚至一个元素的左逆元或者右逆元还可以不是惟一的。,2023/7/9,32,【例5.2.7】设集合S=,定义在S上的一个二元运算*如表5-2.2所示。试指出代数系统中各个元素的左、右逆元情况。,解 是幺元；的左逆元和右逆元都是；即和互为逆元；的左逆元是而右逆元是；有两个左逆元和；的右逆元是，但没有左逆元。,2023/7/9,33,定理5-2.4 设为A中的一个二元运算，A中存在幺元e且每个元素都有左逆元。如果是可结合的运算，则在A中任何元素的左逆元必定是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是惟一的。证明：设a,b,cA，b是a的左逆元，c是b的左逆元。于是(ba)b=eb=b，
19、所以 e=cb=c(ba)b)=(c(ba)b=(cb)a)b=(ea)b=ab因此，b也是a的右逆元。设元素a有两个逆元b和d，那么b=be=b(ad)=(ba)d=ed=d故a的逆元是惟一的。,2023/7/9,34,【例5.2.8】试构造一个代数系统，使得其中只有一个元素具有逆元。解：设m,nI,T=x|xI,mxn,那么，代数系统中有一个幺元是m,且只有m有逆元，因为m=max(m,m)。,【例5.2.9】对于代数系统，这里R是实数的全体，是普通的乘法运算，是否每个元素都有逆元。解：该代数系统中的幺元是1，除了零元素0外，所有的元素都有逆元。,2023/7/9,35,【例5.2.9】对
20、于代数系统，这里Nk=0,1,2,k-1,+k是定义在Nk上的模k加法运算，定义如下：对于任意x,yNk 试问是否每个元素都有逆元。解：可以验证，+k是一个可结合的二元运算，Nk中关于运算+k的幺元是0，Nk中的每一个元素都有唯一的逆元，即0的逆元是0，每个非零元素x的逆元是k-x。,2023/7/9,36,从运算表中看运算具有的性质1）运算具有封闭性，当且仅当运算表中的每个元素都属于A。2）运算具有可交换性，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。3）运算具有等幂性，当且仅当运算表的主对角线上的每一元素与它所在行（列）的表头元素相同。4）A中关于运算具有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中的元素
21、都与该元素相同。5）A中关于运算具有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。6）设A中关于运算具有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行和b所在列的元素及b所在行和a 所在列的元素都是幺元。,2023/7/9,37,一、广群定义5-3.1 一个代数系统，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算，如果运算是封闭的，则称代数结构为广群。,半群是一种特殊的代数系统，它在形式语言、自动机等领域中，都有具体的应用。,5-3 半 群,2023/7/9,38,定义5-3.2 一个代数系统，其中S是非空集合，*是S上的一个二元运算，如果：（1）运算是封闭的；（2）运算*是可结合的，即对任
22、意的x,y,zS，满足(x*y)*z=x*(y*z)则称代数系统为半群。,2023/7/9,39,【例5.3.1】设集合Sk=x|xIxk,k0,那么是一个半群，其中+是普通的加法运算。解：因为运算+在Sk上是封闭的，而且普通加法运算是可结合的。所以，是一个半群。在例题1中，k0这个条件是重要的，否则，如果k0，则运算+在Sk上将是不封闭的。,2023/7/9,40,【习题5-3.1】对于正整数k，Nk=0,1,2,k-1，设*k是Nk上的一个二元运算，使得a*kb=用k除ab所得的余数，这里a，bNk。a)当k=4时，试造出*k的运算表。b)对于任意正整数k，证明是一个半群。解 a)当k=4
23、时，*k的运算表如下：,2023/7/9,41,b)对于任意的a，bNk，a*kb=ab-nk=r，0rk-1，所以运算*k在Nk上是封闭的。对于任意的a，b，cNk，有(a*kb)*kc=(ab-n1k)c-n2k=r1 0r1k-1=abc-k(n1 c+n2)a*k(b*kc)=a(bc-n3k)-n4k=r2 0r2k-1=abc-k(n3a+n4)可见r1和r2都是abc用k除所得的余数，所以r1=r2。所以(a*kb)*kc=a*k(b*kc)，即*k满足结合律。因此，是半群。,2023/7/9,42,【例5.3.2】设S=a,b,c，在S上的一个二元运算 定义如表5-3.1所示。
24、验证是一个半群。,解 从表5-3.1中可知运算是封闭的，同时a,b和c都是左幺元。所以，对于任意的x,y,zS，都有 x(yz)=xz=z=yz=(xy)z因此，是半群。明显地，代数系统和都不是半群，这里，-和/分别是普通的减法和除法。,2023/7/9,43,【练习】设*是实数集R上的运算，其定义如下：a*b=a+b+2ab1)求2*3，3*（-5）和7*1/2。2)是半群吗？*可交换吗？3)求R中关于*的幺元（单位元）。4)R中哪些元素有逆元，逆元素是什么？,2023/7/9,44,解 1)2*3=17，3*（-5）=-32，7*1/2=14.5,2)运算*在R上是封闭的。对任意a，b，c
25、R，(a*b)*c=(a+b+2ab)*c=a+b+2ab+c+2(a+b+2ab)c=a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abca*(b*c)=a*(b+c+2bc)=a+b+c+2bc+2a(b+c+2bc)=a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abc所以(a*b)*c=a*(b*c)。因此是半群。*可交换。,3)R中关于*的幺元是0。,4)R中除-1/2外所有元素都有逆元，a的逆元素是-a/（1+2a）。,2023/7/9,45,二、子半群定理5-3.1 设为一半群,BS且在B上封闭，那么也是一个半群，称为的子半群。证明思路：结合律在B上仍成立。证明：因为在S上是可结合的，而BS且在
26、B上封闭，所以在B上也是可结合的，因此，也是一个半群。,【例5.3.3】设 表示普通的乘法运算，那么、和都是的子半群。解 首先，运算 在R上是封闭的，且是可结合的，所以是一个半群。其次，运算 在0,1、0,1)和I上都是封闭的，且0,1R，0,1）R，IR。因此，由定理5-3.1可知、和都是的子半群。,2023/7/9,46,练习 若是半群，aS，M=an|n N，证明是的子半群。,证明 只须证明运算*在M上是封闭的。任取an，am M，an*am=（an*a）*am-1=an+1*am-1=（an+1*a）*am-2=an+2*am-2=an+m M所以是的子半群。,2023/7/9,47,
27、定理5-3.2 设S,*是半群，S是有限集，则必有aS，使得a*a=a 证明：bS，由*在S上的封闭性知：b2=b*bS b3=b2*bS,2023/7/9,48,因为S是有限集，所以必有ij使 bi=bj 令p=ji，则p=ji1，而j=p i bi=bj=bp+i=bp*bi 于是下式成立：bq=bp*bq qi 因为p=ji1，总可以找到k1，使得kpi 对于S中的元素bkp，就有 bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=b2p*bkp=b2p*(bp*bkp)=bkp*bkp 令a=bkp，a*a=a,2023/7/9,49,【习题5-3.1】对于正整数k，Nk=0,1,2,k-
28、1，设*k是Nk上的一个二元运算，使得a*kb=用k除ab所得的余数，这里a，bNk。我们已经证明了是一个半群。,当k=4时，*k的运算表如下：,找出中的等幂元。,0和1都是等幂元。,2023/7/9,50,前面已验证是一个半群。这里a，b，c都是等幂元。,【例5-3.2】设S=a,b,c，在S上的一个二元运算 定义如表5-3.1所示。验证是一个半群。,2023/7/9,51,三、独异点定义5-3.3 设代数系统为半群，若含有关于 运算的幺元,则称它为独异点(monoid)，或含幺半群。,例如，代数系统是一个独异点，因为是一个半群，且0是R中关于运算+的幺元。另外，代数系统,都是具有幺元1的半
29、群，因此它们都是独异点。代数系统虽是一个半群，但关于运算+不存在幺元，所以，这个代数系统不是独异点。,2023/7/9,52,有代数系统，其中S=a，0，1，运算*由下表定义，证明是独异点。,证明 1）运算*是封闭的。,2）对于任意x，yS，(x*y)*a=x*y x*(y*a)=x*y(x*y)*0=0 x*(y*0)=x*0=0(x*y)*1=1 x*(y*1)=x*1=1所以运算*是可结合的。,3）a是S中关于运算*的幺元。,因此是独异点。,2023/7/9,53,定理5-3.3 设是一个独异点,则在关于运算 的运算表中任何两行或两列都是不相同的。证明:因S 中关于运算的幺元是e，因为对
30、于任意的元素a,bS，且ab时，总有 e a=a b=e b 和 a e=a b=b e,所以，在的运算表中不可能有两行或两列是相同的。,2023/7/9,54,【例5.3.4】设I是整数集合，m是任意正整数，Zm是由模m的同余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和m分别如下：对于任意的i，jZm i+mj=(i+j)(mod m)imj=(ij)(mod m)试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都是不相同的。证明：考察代数结构和，只须证明和都是独异点。先分三步证明是独异点，再利用定理5-3.3的结论：1）根据运算定义，证明两个运算在Zm上封闭；2）根据运算定义，证明两个运
31、算满足结合律；3）根据运算定义，证明0是的幺元，1是的幺元。本例题的实例见 表5-3.2和表5-3.3,2023/7/9,55,(1)由运算+m和m的定义，可知它们在Zm上都是封闭的。(2)对于任意i，j，kZm(i+mj)+mk=i+m(j+mk)=(i+j+k)(mod m)(imj)mk=im(jmk)=(ijk)(mod m)即运算+m和m都是可结合的。(3)因为0+mi=i+m0=i，所以，0是中的幺元。因为1mi=im1=i，所以，1是中的幺元。因此，代数系统，都是独异点。由定理5-3.3可知，这两个运算的运算表中任何两行或两列都不相同。,2023/7/9,56,上例中，如果给定m
32、=5，那么+5和6的运算表分别如表5-3.2和表5-3.3所示。,表5-3.2,表5-3.3,显然，上述运算表中没有两行或两列是相同的。,2023/7/9,57,定理5-3.4 设是独异点，a,bG且a,b均有逆元，则(a1)1=a a*b有逆元，且(a*b)1=b1*a1 证明：因a*a1=a1*a=e，故(a1)1=a 因(a*b)*(b1*a1)=(a*(b*b1)*a1=a*e*a1=a*a1=e又(b1*a1)*(a*b)=(b1*a1)*(a*b)=b1*(a1*a)*b=b1*e*b=b1*b=e故(a*b)1=b1*a1,2023/7/9,58,一、群定义5-4.1 称代数结构
33、为群(groups),如果（1）中运算是封闭的。（2）中运算是可结合的。（3）中有么元e.（4）中每一元素x都有逆元x-1。,例如，等都是群。,5-4 群与子群,2023/7/9,59,【例5.4.1】设R=0,60,120,180,240,300表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能情况，设是R上的二元运算，对于R中任意两个元素a和b，ab表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角度。并规定旋转360等于原来的状态，就看作没有经过旋转。验证是一个群。,2023/7/9,60,【例5.4.1】解：由题意，R上二元运算的运算表如表5-4.1所示。,由表5-4.1可见，运算在R上是封闭的
34、。,表5-4.1,2023/7/9,61,对于任意的a,b,cR，(ab)c表示将图形依次旋转a,b和c,而a(bc)表示将图形依次旋转b,c和a,而总的旋转角度都等于a+b+c(mod 360)，因此，(ab)c=a(bc)。0是幺元。60,180,120的逆元分别是300,180,240。因此是一个群。,2023/7/9,62,定义5-4.2 设 为一群。若 G为有限集，则称为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶(order),记为|G|；否则，称 为无限群（infinite group）。,例题中所述的就是一个有限群，且|R|=6。,【例5.4.2】试验证代数系
35、统是一个群，这里I是所有整数的集合，+是普通加法运算。解 明显地，二元运算+在I上是封闭的且是可结合的。幺元是0。对于任一aA，它的逆元是-a。所以是一个群，且是一个无限群。,2023/7/9,63,2023/7/9,64,定理5-4.1 设为群，那么当G e时,G无零元。即群中不可能有零元。证明:因当群的阶为1时，它的唯一元素是视作幺元e。设|G|1 且群有零元。那么群中任何元素x G，都有 x=x=e，所以，零元就不存在逆元，与是群的假设矛盾。,由定理5-2.4可知，群中任何一个元素的逆元必定是唯一的。由群中逆元的唯一性，我们可以有以下几个定理。,2023/7/9,65,定理5-4.2 设
36、为群，对于a,bG，必存在xG，使得关于x的方程axb，xab都有唯一。证明:1）先证解存在性 设a的逆元a-1，令 x=a-1 b（构造一个解）ax a（a-1 b）（a a-1）b e b b 2）再证解唯一性 若另有解x1满足a x1 b，则 a-1（a x1）a-1 b x1 a-1 b,2023/7/9,66,定理5-4.3 设为群，那么，对任意a,b,cG ab=ac 蕴涵 b=c ba=ca 蕴涵 b=c G的所有元素都是可约的因此，群中消去律成立。证明:设abac,且a的逆元a-1，则有 a-1（a b）a-1（a c）e b e c b c 同理可证第二式。,2023/7/9
37、,67,2023/7/9,68,定理5-4.4 设为群，那么，运算表中的每一行或每一列都是群G的元素的置换。证明:先证G中每一个元素只出现一次 用反证法：设a对应行有两个元素b1、b2对应的都是c,即ab1ab2c,且b1b2 由可约性得b1b2 与假设矛盾。再证G中每一个元素必出现一次 对于元素aG的那一行，设b是G中的任意一个元素，由于b=a（a-1b），所以b必定出现在对应于a的那一行。再由运算表中任何两行或两列都是不相同的。得出要证的结论。对列的证明过程类似。,2023/7/9,69,定理5-4.5 在群中，除幺元e之外，不可能有任何别的等幂元。,定义5-4.4设为代数系统，如果存在a
38、G，有a a=a，则称 a为等幂元。,证明:因为e e=e，所以e是等幂元。现设 aG，ae 且 a a=a 则有 a=ea=(a-1a)a=a-1(aa)=a-1a=e 与假设 ae 且矛盾。,2023/7/9,70,二、子群,定义5-4.5 设为群。如果S是G的非空子集，如果为一群，则称是的子群(subgroups)。,定理5-4.6 设为群，为的子群，那么，中的幺元e必定也是中的幺元。,证明:设中的幺元为e1，对于任意一个元素 xSG,必有 e1 x=x=e x e1(x x-1)=e(x x-1)则有 e1=e,定义5-4.6 设为群，为的子群，如果，S=e或S=G，那么称为 的平凡子
39、群。,2023/7/9,71,【例5.4.3】是一个群，设IE=x|x=2n,nI，证明是的一个子群。,(2)运算+在IE上保持可结合性。,(3)中的幺元0也在IE中。,证明(1)对于任意的x,y IE，不妨设x=2n1,y=2n2,n1,n2I,则 x+y=2n1+2n2=2(n1+n2)而 n1+n2I所以 x+yI即+在IE上封闭。,(4)对于任意的xIE，必有n使得x=2n，而-x=-2n=2(-n)，nI所以-xIE，而x+(-x)=0，因此，是的一个子群。,2023/7/9,72,定理5-4.7 设G,*是群，A是G的非空子集，如果A是一个有限集，只要运算*在A上封闭，则是G,*的
40、子群。证明：G,*是群，则G,*是半群，因为运算*在A上封闭，所以A,*是半群。以下证明A中有幺元e且A中每一个元素都有逆元。证明A中有幺元e。bA，因为运算*在A上封闭，所以 b2=b*bA b3=b2*bA 由于A是有限集，所以必存在正整i和j，不妨设ij，使得bi=bj 从而有 bi=bi*bji和bi=bji*bi 根据群中的消去律得bji=e，即bji是群G,*的幺元。且这个幺元也在G的非空子集A中。,2023/7/9,73,证明S中每一个元素都有逆元。如果ji1，那么bji=b*bji1和bji=bji1*b，即bji1是b的逆元，b1=bji1且bji1A。如果ji=1，b=bj
41、i，那么b是幺元。所以b1=b。,2023/7/9,74,【例5.4.4】设G4=p=|pi 0,1,是G4上的二元运算，定义为，对任意X=,Y=G4X Y=其中 的运算表如表5-4.2所示。证明,是群的子群。,2023/7/9,75,证明：首先对于任意的X=,Y=,Z=G4。因为 xi yi 0,1所以 X Y G4因为(xi yi)zi=xi(yi zi)所以(X Y)Z=X(Y Z)是幺元。X X=，即任一X，以他自身为逆元。所以，是一个群。其次，由于,G4,且,在,上是封闭的，由定理5-4.7可知,是的子群。,2023/7/9,76,定理5-4.8 设为群,S为G的非空子集,如果对于任
42、意元素a,bS有ab-1S,那么,必定是 的子群。,分四步证明:1）先证G中的幺元e也是S中的幺元 对任意元素aSG,e=a a-1S的（在ab-1中用a替换b）且 ae=ea=a，即e也是S中的幺元。2）再证S中的每一个元素都有逆元 对任意元素aS中，因为eS，所以 ea-1S，即a-1S。3）最后证明在S中是封闭的对任意元素 a,bS,b-1S,而b=(b-1)-1 所以 ab=a(b-1)-1S。4）结合律是保持的,2023/7/9,77,【例5.4.5】设和都是群的子群，试证明也是的子群。,证明 设任意的a,bHK，因为和都是子群，所以b-1HK，由于*在H和K中的封闭性，所以a*b-
43、1HK，由定理5-4.8即得也是的子群。,2023/7/9,78,一、阿贝尔群（Abel 群）,定义 5-5.1 设 为一群,若 运算满足交换律,则称G为交换群或阿贝尔群(Abel group)。阿贝尔群又称加群，常表示为（这里的+不是数加，而泛指可交换二元运算）。加群的幺元常用0来表示，元素x的逆元常用-x来表示。,5-5 阿贝尔群和循环群,2023/7/9,79,例题1 设S=a,b,c,d，在S上定义一个双射函数 f:f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a,对于任一xS，构造复合函数 f 2(x)=f o f(x)=f(f(x)f 3(x)=f o f 2(x)=f(f
44、2(x)f 4(x)=f o f 3(x)=f(f 3(x)如果用 f 0表示S上的恒等映射，即 f 0(x)=x xS很明显地有 f 4(x)=f 0(x)，记 f 1=f，构造集合F=f 0,f 1,f 2,f 3，那么是一个阿贝尔群。,2023/7/9,80,解 对于F中任意两个函数的复合，可以由表5-5.1给出,可见，复合运算o关于F是封闭的，并且是可结合的。f 0的逆元就是它本身，f 1和f 3互为逆元，f 2的逆元也是它本身。由表5-5.1的对称性，可知复合运算o是可交换的。因此是一个阿贝尔群。,2023/7/9,81,再看5-4节例题1【例5.4.1】设R=0,60,120,18
45、0,240,300表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能情况，设是R上的二元运算，对于R中任意两个元素a和b，ab表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角度。并规定旋转360等于原来的状态，就看作没有经过旋转。已经验证了是群。由运算表的对称性知运算是可交换的，因此是阿贝尔群。,2023/7/9,82,【练习5-5.1】设是一个独异点，并且对于G中的每一个x都有x*x=e，其中e是幺元，证明是一个阿贝尔群。证明：x*x=e说明G中的每一个元素x都是自身的逆元，所以是一个群。任取x，yG，则x*yG因为x*y=（x*y）-1=y-1*x-1=y*x所以是一个阿贝尔群。此题的推论：若群中
46、每个元素的逆元都是它自己，则该群必是可交换群。,2023/7/9,83,例题2 设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合，矩阵乘法运算作为定义在集合G上的二元运算，则是一个不可交换群。解 任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个非奇矩阵，所以运算是封闭的。矩阵乘法运算是可结合的。N阶单位阵E是G中的幺元。任意一个非奇矩阵A存在唯一的逆阵A-1，使 A-1A=AA-1=E。但矩阵乘法运算是不可交换的，因此是一个不可交换群。,2023/7/9,84,定理 5-5.1 设 为一群,是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,bG，有（ab）（ab）=（aa）（bb）证明:1）先证充分性从条件“（ab）（ab）=（aa
47、）（bb）”出发，推出“是阿贝尔群”的结论：对于元素a,bG，有(ab)(ab)=(aa)(bb)因为 右端=a(ab)b=(aa)(bb)=(ab)(ab)=a(ba)b 即 a(ab)b=a(ba)b 由可约性得，用a-1左上式，再用b-1右上式，(ab)=(ba),2023/7/9,85,2）再证必要性 从“是阿贝尔群”的结论出发，推出“(ab)(ab)=(aa)(bb)”对任意的a,bG，有a*b=b*a，因此，(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)即(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),2023/7/9,86,二、循环群,定义
48、5-5.2 设为群，如果在G中存在元素 a,使 G以a为生成集，G的任何元素都可表示为 a 的幂（约定e=a0）,称为循环群(cyclic group)，这时a称为循环群G的生成元（generater）。,例如，60就是群 的生成元，因此，该群是循环群。,2023/7/9,87,定理 5-5.2 设任何一个循环群必定是阿贝尔群。,证明思路:循环群是阿贝尔群 设 是一个循环群，a是该群的生成元，则对于任意的x,yG，必有r,sI，使得 x=ar 和 y=as 而且 xy=aras=ar+s=as+r=asar=yx因此，运算可交换，是阿贝尔群。,2023/7/9,88,定义5-5.3 设为群，a
49、G，如果an=e,且n为满足此式的最小正整数,则称 a 的阶(order)为n，如果上述n不存在时,则称a有无限阶.,定理 5-5.3 设为循环群，aG是该群的生成元，如果G的阶数是n，即|G|=n，则an=e,且 G=a1,a2,a3,.,an-2,an-1,an=e其中，e是群的幺元。n是使an=e的最小正整数。,2023/7/9,89,证明思路:先证a的阶为n 设对于某个正整数m,m是一个循环群，所以对于G中任意的元素都能写为ak(k I),而且k=mq+r,其中q是某个整数,0rm,则有 ak=amq+r=(am)qar=(e)qar=ar因此，G中每一元素都可写成ar(0rm)，G中
50、最多有m个元素。与|G|=n矛盾。所以am=e是不可能的。再用反证法证明a1，a2，.，an互不相同。设ai=aj，其中1ijn，就有aj-i=e，而且1j-in，这已经有上面证明是不可能的。所以 a1，a2，.，an都不相同。因此G=a1,a2,a3,.,an-2,an-1,an=e,2023/7/9,90,例题3 设G=,在G上定义二元运算*如表5-5.2所示，说明 是一个循环群。,2023/7/9,91,解：由运算表5-5.2可知，运算*是封闭的，是幺元。，和 的逆元分别是，和。可以验证运算*是可结合的。所以 是一个群。在这个群中，由于*=2=，3=，4=以及*=2=，3=，4=故群 是
