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1、机械优化设计方法,鲁东大学交通学院 王品,绪论,优化设计（Optimum Design)优化设计是60年代初发展起来的一门新学科，它是将最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学设计方法。利用这种新的设计方法，人们就可以从众多的设计方案中寻找出最佳设计方案，从而大大提高设计效率和质量。,解析法,数值计算法,优化方法,微分求极值,迭代逼近最优值,计算机,优化设计,机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。,什么叫机械优化设计,工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”指在满足多种设计目标和约束条件下所获得
2、的最令人满意和最适宜的值。,一、从传统设计到优化设计,机械设计一般需要经过调查研究(资料检索)、拟订方案(设计模型)、分析计算(论证方案)、绘图和编制技术文件等一系列的工作过程。,图1-1 传统的机械设计过程,传统设计方法通常在调查分析的基础上，参照同类产品通过估算、经验类比或试验来确定初始设计方案。然后，根据初始设计方案的设计参数进行强度、刚度、稳定性等性能分析计算，检查各性能是否满足设计指标要求。如果不完全满足性能指标的要求，设计人员将凭借经验或直观判断对参数进行修改。这样反复进行分析计算性能检验参数修改，直到性能完全满足设计指标的要求为止。整个传统设计过程就是人工试凑和定性分析比较的过程
3、，主要的工作是性能的重复分析，至于每次参数的修改，仅仅凭借经验或直观判断，并不是根据某种理论精确计算出来的。,一、从传统设计到优化设计,传统设计方法只是被动地重复分析产品的性能，而不是主动地设计产品的参数。从这个意义上讲它没有真正体现“设计”的含义。其实“设计”一词本身就包含优化的概念。作为一项设计不仅要求方案可行、合理，而且应该是某些指标达到最优的理想方案。,举例,宋代建筑师李诫在营造法式指出:圆木做成矩形截面梁的高宽比应为三比二。这一结论和抗弯梁理论推得的结果十分接近。根据梁弯曲理论，最佳截面尺寸应使梁截面抗弯截面系数W最大。设截面宽为b、高为h，则要求W=bh2/6max,图13 机械优
4、化设计过程框图,优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：,(1)设计的思想是最优设计；,(2)设计的方法是优化方法；,(3)设计的手段是计算机。,二、机械优化设计的发展概况,近几十年来，随着数学规划论和电子计算机的迅速发展而产生的，它不仅用于产品结构的设计、工艺方案的选择，也用于运输路线的确定、商品流通量的调配、产品配方的配比等等。目前，优化方法在机械、冶金、石油、化工、电机、建筑、宇航、造船、轻工等部门都已得到广泛的应用。,1.优化设计的应用领域,国内近年来才开始重视，但发展迅速，在机构综合、机械的通用零部件的设计、工艺设计方面都得到应用。,2.目前机械优化设计的应用领域,在机械设计方面的
5、应用较晚，从国际范围来说，是在上世纪60年代后期才得到迅速发展的。,利用一个化工优化系统的计算机手段，对一个化工厂进行设计。根据所给数据，在16h内，进行16000个可行性设计的选择，从中选出一个成本最低、产量最大的方案，并给出必需的精确数据。而在这之前，求解这个问题，曾用一组工程师工作了一年，但仅作了三个设计方案，而它们的效率却没有一个可以和上述优化方案相比。又例如，美国贝尔(Bell)飞机公司采用优化方法解决 450个设计变量的大型结构优化问题。在对一个机翼进行质量设计中，减轻质量达35%。波音(Boeing)公司也有类似的情况，在747机身的设计中，收到了减轻质量、缩短生产周期、降低成本
6、的效果。武汉钢铁公司所引进的moo薄板轧机是德国DMAG公司提供的。该公司在对此产品进行优化修改后，就多盈利几百万马克。,1)目前优化设计多数还局限在参数最优化这种数值量优化问题。结构型式的选择还需进一步研究解决。,优化设计存在的问题和发展趋势,2)优化设计这门新技术在传统产业中普及率还不高。,3)把优化设计与CAD、专家系统结合起来是优化设计发展的趋势之一。,三、本课程的主要内容,机械优化设计包括建立优化设计问题的数学模型和选择恰当的优化方法与程序两方面的内容。由于机械优化设计是应用数学方法寻求机械设计的最优方案，所以首先要根据实际的机械设计问题建立相应的数学模型，即用数学形式来描述实际设计
7、问题。在建立数学模型时需要应用专业知识确定设计的限制条件和所追求的目标，确立各设计变量之间的相互关系等。机械优化设计问题的数学模型可以是解析式、试验数据或经验公式。虽然它们给出的形式不同，但都是反映设计变量之间的数量关系的。数学模型一旦建立，机械优化设计问题就变成一个数学求解问题。应用数学规划方法的理论，根据数学模型的特点，可以选择适当的优化方法，进而可以选取或自行编制计算机程序，以计算机作为工具求得最佳设计参数。,三、本课程的主要内容,本课程共分八章进行讨论。第一章介绍优化设计的基本概念，其目的在于了解优化设计的步骤及常用术语。第二章介绍某些数学基础知识，以便为以后各章的学习打好基础。第三、
8、四、五、六章分别介绍一维搜索、无约束优化、线性规划和约束优化的原理及算法，这是本课程的重点。第七章介绍多目标及离散变量优化方法简介。第八章介绍几个机械优化设计问题的实例，用以说明如何应用优化方法解决机械优化设计问题的过程。,第一章 优化设计概述,为了对机械优化设计有一具体的认识，现以人字架的优化设计为例予以说明。虽然此设计采用简单的解析法和作图法，但从中可以了解优化的具体过程，以及优化问题的一些基本概念。,第一节 人字架的优化设计,图所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力2F=3 X l05N。已知人字架跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1 X 105
9、 MPa，材料密度=7.8 X l03kg/m3，许用压应力y=420MPa。求在钢管压应力不超过许用压应力y和失稳临界应力e的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。,第一节 人字架的优化设计,优化设计问题归结为求x=D hT，使结构质量m(x)min，但应满足强度约束条件(x)y和稳定约束条件(x)e。,1-2 优化设计问题的示例,优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括：（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。,该问题可表示为求使满足于,解：由 有,设计一曲柄
10、摇杆机构.已知:要求:使 达到最大.,已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3；（3）设计约束条件：（a）体积要求；（b）长度要求；,箱盒的优化设计,数学模型,设计参数：,设计目标：,约束条件：,某工厂生产A 和B 两种产品，A 产品单位价格为PA 万元，B 产品单位价格为PB 万元。每生产一个单位A 产品需消耗煤aC 吨，电aE 度，人工aL 个人日；每生产一个单位B 产品需消耗煤bC 吨，电bE 度，人工bL 个人日。现有可利用生产资源煤C
11、吨，电E 度，劳动力L 个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。分析：（1）产值的表达式；（2）设计参数确定：A 产品xA，B 产品xB；（3）设计约束条件：（a）生产资源煤约束；（b）生产资源电约束；（b）生产资源劳动力约束；,最大产值生产资源分配问题,数学模型,设计参数：,设计目标：,约束条件：,已知：传动比i,转速n,传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。分析：（1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达；（2）设计参数确定：模数（m），齿宽（b），齿数（z1）；（3）设计约束条件：（a）大齿轮满足弯曲强度要求；（b）小齿轮满足弯曲强度要求；（c）齿轮副满足接触疲劳强
12、度要求；（d）齿宽系数要求；（e）最小齿数要求。,直齿圆柱齿轮副的优化设计,数学模型,设计参数：,设计目标：,约束条件：,1-3 优化设计的数学模型,1.设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。,优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。,设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。
13、设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。,由n个设计变量 为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。,按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。,图1-1 设计变量所组成的设计空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题,只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-1（a）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图1-1（b）所表示的空间直角坐标表示。,设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈
14、大、求解亦愈复杂。小型设计问题：一般含有210个设计变量；中型设计问题：1050个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。,如何选定设计变量？任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工作圈数
15、n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力 和剪切模量等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。,2.约束条件,设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。,约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：,(1)等式约束,(2)不等式约束,显式约束 隐式约束 约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），
16、需要通过有限元等方法计算求得。,根据约束的性质可以把它们区分成：性能约束针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；边界约束只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。,图1-2 设计空间中的约束面（或约束线）(a)二变量设计空间中的约束线(b)三变量设计空间中的约束面,如图1-3上画出了满足两项约束条件g1（X）=x12x2216 O和g2（X）2X20的二维设计问题的可行域D，它位于X2=2的上面和圆 x12x22=16的圆弧ABC下面并包括线段AC和圆弧A
17、BC在内。,图1-3 约束条件规定的可行域D,可行域:在设计空间中，满足所有约束条件的所构成的空间。,3.目标函数,在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的X值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在目标函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：,体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。,为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(X)表示。,在最优化设计问题中，可以只有一个
18、目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。,在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。,目标函数等值（线）面,目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面（线）数学表达式为：,c为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空间中，F(x1,x2)=c
19、 代表x1-x2设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。,图1-4 等值线,图1-4表示目标函数f（X）与两个设计变量x1，x2阶所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。,从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中F=40的等值线就是使F(
20、x1,x2)=40的各点x1,x2T所组成的连线。,如图函数的等值线图。,图1-5 等值线,4.优化设计问题一般数学形式：,满足约束条件：,求设计变量向量,使目标函数,对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。,最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值。若目标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求-F（X）的最小值，因为min-F（X）与maxF（X）是等价的。当然，也可看成是求1F（X）的极小值。,5、
21、优化问题的几何解释,无约束优化：在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。,其极小点在目标函数等值面的中心。,约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。,其极小点在可行域内或在可行域边界上。,6.建模实例,1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。,2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。,3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。,4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致
22、的数量悬殊的影响。,建立优化设计问题的数学模型一般步骤：,以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：,混合饲料配合,解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:设 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。,6.优化设计的分类,对于最优化问题一般可作如下分类：,还有其它的一些划分方法：如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题；二次规划、几何规划、随机规划等。,例
23、1：如下二维非线性规划问题,一、几何解释,1-4 优化问题的几何解释和基本解法,通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。,目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：,，,约束方程所围成的可行域是D。,图1-9,由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为，对应的最优值为(见图）,用图解法求解,例2：,解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。,解：先画出等式约束曲线 的图形。这是一条抛物线，如图,例3：,再画出不等式约束区
24、域，如图（选定哪侧区域）最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，,以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段ABCD。当动点沿抛物曲线段ABCD由A点出发时，AB段目标函数值下降。过点B后，在BC段目标函数值上升。过C点后，在CD段目标函数值再次下降。D点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组：,得出：,由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的是 X|f(X)=C,C是常数称为目标函数的等值面。等值面具有以下性质：（1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函
25、数是单值函数；（2）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的地方变化得比较慢；（3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。,求解优化问题的基本解法有：,二、基本解法,解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法。在目标函数比较简单时，求解还可以。,局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。,最优化方法是与近代电子计算机的发展紧密相联系的，数值计算法比解析法更能适应电子计算机的工作特点，因为数值计算的迭代方法
26、具有以下特点：1）是数值计算而不是数学分析方法；2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；3）最后得出的是逼近精确解的近似解。这些特点正与计算机的工作特点相一致。,数值迭代法的基本思路：是进行反复的数值计算，寻求目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：,1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X（0），从X（0）出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到X（1）点；2）得到新点X（1）后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从X（1）点出发再跨出一步，达到X（2）点，并依此类推，一步一步地向前探
27、索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。,1.求解步骤,在中间过程中每一步的迭代形式为：,图1-11 迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图,上式中：Xk第k步迭代计算所得到的点，称第k步迭代点，亦为第k步设计方案；k第k步迭代计算的步长；Sk第k步迭代计算的探索方向。,用迭代法逐步逼近最优点的探索过程如图1-11所示。,运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值下降的要求：,（1）选择搜索方向（2）确定步长因子（3）给定收敛准则,收敛：,迭代法要解决的问题：,2.迭代终止准则,（1）点距准则,或,（2）函数值下降量 准则,或,（3）目标函数梯度 准则,上述准则都在一定程度上反映了
28、逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。,采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：,3.算法的收敛性和收敛准则,一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判断，能在有限步迭代中得到其极小点，称算法具有二次收敛性。具有二次收敛性的算法是收敛速度较高的方法。,2)算法的收敛速度,1)算法的收敛性,3）收敛准则,）相对下降量准则）绝对下降量准则,点距准则 目标函数下降量准则,(1)基于迭代信息的收敛准则,（2）基于极值存在条件的收敛准则,梯度准则,）梯度,梯度是由函数各个一阶偏导数组成的矢量：,）梯度准则,*对无约束问题，最优点处的各个一阶偏导数均为0，故函数梯度的模必为0。,K-T条件准则,以上各准则单独使用时并非十分可靠，有时需几种准则联用。,图1-12 优化设计流程,三、优化设计 一般步骤,
