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1、第2章 控制系统的数学模型,2-2 传递函数（transfer function）,用微分方程来描述系统比较直观，但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与设计。为此提出传递函数的概念。,一、传递函数的定义和概念,以上一节RLC电路的微分方程为例：,设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：,定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传递函数，用G(s)表示。,一般形式：设线性定常系统（元件）的微分方程是：,y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：,分母中
2、s的最高阶次n即为系统的阶次。,因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶次，即,是有理真分式，若,我们就说这是物理不可实现的系统。,二、传递函数的性质(1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的；(2)传递函数只适用于线性定常系统；(3)传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；(4)传递函数与系统的输入输出的位置有关；(5)传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了。,三、典型环节的传递函数,1）比例环节:其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示,特点：输出与输入量成比例，无失
3、真和时间延迟。,实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)等。,2）惯性环节:其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示,特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即发现，输出无振荡。实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。,3）积分环节:其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示,传递函数为：,特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：模拟计算机中的积分器。,4）微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量的关系，由下式来表示,特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间
4、的传递函数即为微分环节。,图2-16 R-C网络,1）实际的微分环节，如图2-16所示，它的传递函数为：,2）直流测速发电机。如图2-17,图2-17直流测速发电机,5）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的二阶微分方程式来表示。,传递函数为：,特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。,1）R-L-C电路的传递函数,2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数,上述两个传递函数，虽然它们的阻尼比和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足01，则它们都是振荡环节。,6）延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来表示,特点：输出
5、量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。,以上6种是常见的基本典型环节的数学模型,1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的；2）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数，有不同的传递函数；3）传递函数都可看作典型环节的组合。,建立控制系统的传递函数的步骤与建立控制系统微分方程的步骤相类似，首先确定系统和各元件的输入量和输出量，列出各组成元件的原始方程，并得到各方程的拉氏变换形式，消去中间变量，求得输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，从而得到传递函数。对于电气网络（有源或无源），也可用复数阻抗的思想直接求出
6、传递函数。,四、控制系统的传递函数,图2-18 具有传递滞后的装置,例：图中z1和z2为复数阻抗，由图,即,电气网络传递函数的求取,图2-20 R-C电路,例 求图2-20所示电路的传递函数,解：,得,有源网络电路,图2-21 有源网络1,图2-22 有源网络2,设Z1、Z2、Z3、Z4为复数阻抗，,，并略去运放的输入电流，则由图2-21得,基于上述同样的假设，由图2-22得,即,消去上述式中的中间变量I1、I2、I3、I4和UB，得：,例 求图示两个有源网络的传递函数。,1）在图2-23中，,于是得,2）在图2-24中，,则由前例得,图2-23 PI调节器,图2-24 PD调节器,2-3 动
7、态结构图及等效变换,一、动态结构图的组成,1、信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。,2、引出点：信号引出或测量的位置。,从同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同,3、综合点：对两个或两个以上的信号进行代数运算，“”表示相加，常省略，“”表示相减。,4、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函数，两侧为输入、输出信号线。,二、动态结构图的建立,L,例：双T网络,1）微分方程,2）拉氏变换，写成规范的“因果”形式，结果系数为“1”,3）绘动态结构图。按照变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来,电磁力矩：,电枢反电势：,电枢回路：,力矩平衡：,例 电枢控制式直流电动机,直流电
8、动机结构图,三、典型连接方式及等效变换,1、串联及等效,2、并联及等效,3、反馈及等效,四、等效移动规则,1、引出点的移动,在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框,在移动支路中串入所越过的传递函数方框,2、综合点的移动,在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框,在移动支路中串入所越过的传递函数方框,相邻综合点之间可以随意调换位置,注意：相邻引出点和综合点之间不能互换!,相邻引出点之间可以随意调换位置,结构图等效变换方法,例 结构图简化：电枢控制直流电动机,例2：x-y记录仪结构图如下：求,例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。,例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。,例：试简化系统结
9、构图，并求系统传递函数。,例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。,2.4 控制系统的结构图及其等效变换（1）系统结构图的导出微分方程（2）结构图等效化简,课程回顾,2-4 信号流图及梅逊公式,一、信流图的基本概念,信号流图是一种描述系统中各信号传递关系的数学图形。只适用于线性系统。其优点在于流图增益公式实用性。信号流图由节点和支路组成。,信流图的基本术语,1、源点：只有流出支路的节点。对应于系统的输入信号，或称为输入节点。2、陷点：只有输入支路的节点。对应于系统的输出信号，或称为输出节点。,3、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点,信流图的基本术语,4、通路：从某一节点开始沿支路箭头方向
10、到另一节点（或同一节点）构成的路径。5、回路：如果通路的终点就是起点，并且与任何其他节点相交不多于一次。6、回路增益：回路中各支路增益的乘积。7、前向通路：从源点开始并终止于陷点，且与其他节点相交不多于一次的通道。该通路各支路增益乘积称为前向通路增益。8、不接触回路：各回路之间没有任何公共节点。反之称为接触回路。,二、信号流图的绘制,1、由结构图绘制信流图,结构图 信号流图输入信号 源节点 输出信号 陷节点 比较点，引出点 混合节点 环节 支路 环节传递函数 支路增益,基本步骤：在结构图的信号线上，标出各变量对应节点名称。若比较点之后又有引出点，只需设一个节点。所有输入为源点，输出为陷点，可以
11、通过引入单位增益支路实现。将各节点按原来顺序排列；连接各支路，注意支路增益符号。,（1）信号流图 结构图,控制系统结构图,系统信号流图,2、由方程组绘制信流图,首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。,三、梅森（Mason）增益公式,例：由流图利用梅森公式。见黑板。例：由结构图求流图，再利用梅森公式。例：由结构图直接利用梅森公式。,=,1,af,bg,ch,ehgf,+,+,afch,abcd,ed,(1bg),信号流图,例 1 求C(s)/R(s),例 2 求C(s)/R(s),例 3 求C(s)/R(s),Mason
12、公式（4）,例 4 求传递函数 C(s)/R(s),控制系统结构图,例 4 求C(s)/R(s),Mason 公式（5）,例 5 求传递函数 C(s)/R(s),控制系统结构图,例 5 求C(s)/R(s),25 控制系统的传递函数,一、系统的开环传递函数,定义为把主反馈通道断开，得到的传递函数,Y(s),二、输入作用下系统的闭环传递函数,三、扰动作用下系统的闭环传递函数,四、系统的总输出,Y(s),五、误差传递函数,输入作用下的误差传递函数,扰动作用下的误差传递函数,六、系统的总误差,Y(s),例 求 C(s)/R(s),C(s)/N(s),L1L2=(G1H1)(-G 2 H2),L1=G
13、1H1,L2=G2H2,L3=G1G2H3,C(s)=,1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2 H2,G3G2,+G1G2,+G2(1-G1H1),R(s),N(s),梅逊公式求C(s),(1-G1H1),梅逊公式求E(s),E(s)=,1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2 H2,(1+G2H2),2=1,(-G3G2H3),R(s),P1=G2H3,1=1,(G2H3),+,N(s),P2=-G3G2H3,+,1=1+G2H2,P1=1,控制系统的数学模型,本章小结,习题课,解：由复数阻抗概念，可写出,联立式，消去中间变量,微分方程为,例：如图，求系统微分方程和传递
14、函数,传递函数为,传递函数,例 系统如图，被控对象微分方程为,求系统传递函数F(s)。,解.,(1)求G0(s),(2)由运放,传递函数,整理得,结构图简化步骤,例 结构图简化：电枢控制直流电动机,例 结构图简化,+,例：用等效变换和梅逊公式法求闭环传递函数,.,例 2 求C(s)/R(s),R-L-C网络如图所示。图中，,为输入量，,（1）求该电网络的微分方程式；(2）求该电网络的传递函数。,为输出量。,控制系统的方块图如图所示。（1）利用方块图等效变换方法简化方块图，求出系统的传递函数,（2）绘出该系统的信号的信号流图，并利用梅逊增益公式确定系统的传递函数。,图为某控制系统的信号流图，利用
15、梅逊公式求该系统的传递函数。,图示是一个模拟调节器的电路示意图。（a）写出输入 u r 与输出 u c 之间的微分方程；（b）建立该调节器的结构图；（c）求闭环传递函数 U c(s)/U r(s)。,已知系统结构图如习题 17 图所示，求传递函数 C 1(s)/R 1(s)，C 2(s)/R 1(s)，C 1(s)/R 2(s)，C 2(s)/R 2(s)。,图示是一个单摆运动示意图。图中，l为摆杆长度，为摆角，摆锤质量为m。试建立单摆系统的微分方程，并将其线性化。,引出点移动,a,b,综合点移动,向同类移动,作用分解,例.设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数,（s),化简法：梅森公式：,
