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1、第四章 保险的数理基础,精算师是极富激情的数学家，稀有而珍贵 佚名 现代保险学是建立在概率论与大数定律的基础之上的，二者为保险经营的稳定性、费率厘定的科学性以及保险分散与集合的可行性提供了科学的依据。,讲述内容,4.1 概率论在保险中的应用4.2 大数法则在保险中的应用4.3 保险费及保险费率厘订的基本原理4.4 人寿保险中保费率的厘定,4.1 概率论在保险中应用,4.1.1 概率与概率分布的基本内涵4.1.2 概率论在保险中的应用,4.1.1 概率与概率分布的基本内涵,保险应付风险就需要用到概率理论对风险进行度量，期望损失和标准差是常用的风险度量指标。概率是一个常数，它的特点是不大于1，不小
2、于0，用公式表示如：0 P(A)l解释：0表示不可能事件的概率，1表示必然事件的概率，A表示某种随机事件，P表示事件的概率逐渐稳定于某个常数，P(A)表示随机事件A发生的概率。,概率分布是用来显示各种可能损失结果发生的概率，它是从若干方面的数量来观察的，较为常用:第一，关于每年总损失的概率分布，也就是一定单位可能遭受的年最大总损失。第二，关于每年损失次数的概率分布，也就是年损失频率的概率分布。第三，关于每次损失发生金额大小的概率分布，也就是年损失幅度的概率分布。,4.1.2 概率论在保险中的应用,4.1.2.1 概率论在保险中应用的前提4.1.2.2 概率论在保险中的具体应用,4.1.2.1
3、概率论在保险中应用的前提,随机事件的相互独立性是概率论在保险中应用的前提，这主要基于两点考虑：（1）损失事件的相关性与否是风险集合管理应用与否的前提（2）损失事件的相关性是判断风险可保的条件,（1）损失事件的相关性与否是风险集合管理应用与否的前提,保险能否分摊风险与风险事件的相关性程度密切相关，这是运用风险集合管理风险的数理基础。以随机风险甲与乙两人为例，甲和乙在未来一年之内都有可能遭受事故损失，每人都有20%的可能损失￥2500，80%的可能没有任何损失。现研究不同情况下风险集合（风险集中到一块，资源也集中到一块）的意义。,情况1：事故损失不相关情形下的风险集合,没有风险集合的情况,每个人的
4、事故损失的概率分布情况：期望损失=（0.80）（￥0）+（0.20）（￥2,500）=￥500方差=0.8(￥0-￥500)2+0.2(￥2,500-￥500)2=￥1,000,000标准差=￥1,000,0001/2=￥1,000,有风险集合的情况,每个人的事故损失的概率分布情况：期望损失=（0.64）（￥0）+（0.32）（￥1,250）+（0.04）（￥2,500）=￥500方差=0.64(￥0-￥500)2+0.32(￥1,250-￥500)2+0.04(￥2,500-￥500)2=￥500,000标准差=￥500,0001/2=￥707,两种情况的比较,风险集合没有改变每一个人的期望
5、损失￥500，但它将损失的标准差从￥1000降低到￥707，损失变得相对可预测了，即风险降低了。在风险集合中，再增加一个人，风险（标准差）可以进一步降低。依此类推,当集合参与者人数非常多时，损失的标准差（风险）就变得非常接近于零，即集合中样本容量越大，对样本损失的预测就越准确。由上述分析我们可以得出这样的结论：当损失是相互独立（不相关）时，通过风险集合可以降低风险。,情况2 损失相关情形下的风险集合,损失非完全正相关情形下的风险集合损失之间常常存在着不同程度的正相关，也就是说当甲遭受损失时，乙遭受损失的概率大于0.2，即甲乙同时遭受损失的概率大于0.04，甲乙同时不遭受损失的概率大于0.64。
6、当损失是正相关时，风险集合仍然可以降低风险，但降幅没有不相关情形下大。,损失完全正相关情形下的风险集合正相关的一个极端情形是“完全正相关”，甲乙损失完全正相关含义是：甲受损，乙也受损；甲不受损，乙也不受损。所以，甲乙同时受损的概率和甲或乙受损的概率是一样的（0.2），甲乙同时不受损的概率和甲或乙不受损的概率也是一样的（0.8）。完全正相关时，风险集合对于降低风险无意义。,（2）损失事件的相关性是判断风险可保的条件,可保风险必须是大量标的物均有遭受损失的可能性，但同时更应关注的是大量标的物不能有同时遭受损失的可能性。,4.1.2.2 概率论在保险中的具体应用,保险费率一般由纯费率和附加费率两部分
7、组成。纯费率是纯保费与保险金额的比率，虽其计算的具体方法因险种不同而有别，但其计算的共同的数理基础都是风险事故损失的发生概率或损失概率。财产保险纯费率的计算依据是根据保额损失率或保险财产的平均损失率计算。人寿保险纯费率的计算依据是生命表和利息。,(1)财产保险中纯费率的计算,纯保费是指用于弥补被保险人因保险事故而造成损失的保费数额，或是保险人用于陪付给被保险人或受益人的保险金，它需要借助纯费率来计算得出。纯费率的计算公式是：纯费率=保额损失率（1+稳定系数）。保额损失率是赔偿金额与保险金额的比值。稳定系数则是衡量期望值与实际结果密切关系的一个参数。,保额损失率的计算公式为：保额损失率=平均保额
8、损失率：根据历年来的保险事故发生的情况，可求出平均保额损失率。,举例说明,表41 历年损失情况,设为平均保额损失率，Xi为不同时期的保险损失额，n为期限，则可得出以下公式：,可见，5%是9年间的平均保额损失率，但它并不是所要求的纯保险费率，因为它具有不稳定性，还要求出稳定系数才能损失率的波动程度。,稳定系数,稳定系数=均方差平均保额损失率。均方差是指保额损失率与平均损失率的离差平方和平均数的平方根，它能表明平均保额损失率的代表性。均方差的计算公式为,式中，为均方差；X为每年损失率；为平均损失率；n为年限。,=,4.2 大数法则,4.2.1 大数法则的基本内涵,大数法则基本内涵是：对相似危险性的
9、不同单位，如果大量地结合在一个组里，那么结合的单位越多，在一定时期内遭遇危险变动的幅度就越小。即同样性质的单位结合数量逐渐增多时，从结合的整体来说，出于相互抵消作用或平均作用的努力，发生危险波动的幅度就会逐渐减少而趋向于稳定。,4.2.2 大数法则的内容及其应用,4.2.2.1 切比雪夫大数定律,设X1，X2，Xn，是相互独立的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差：,.），则对于任意的0，则有数学含义：对于数学期望和方差均相同的随机变量（或同一随机变量），进行n次独立的观察，则观察结果的算术平均数依概率收敛于随机变量的数学期望值。,应 用,切比雪夫大数定律的保险经营含义：假设有n个被保险人
10、，他们同时投保了n个同质风险且相互独立的标的，用Xn表示每个标的所发生的损失，它是一个随机变量，但所有X1，X2，Xn的期望值相等，即有每个被保险人的实际损失Xn与其损失期望值一般都不会相等，然而根据大数定律，只要承保标的数量足够大时，投保人所缴纳的纯保费与所有保险标的平均所发生的损失几乎相等。理论上，只有当一个投保人所缴的纯保费等于他的保险标的损失期望值时，才能保证保险人在整体上实现收支平衡。,4.2.2.2 贝努利大数定律,贝努利大数定律是切比雪夫大数定律的推论，它的基本内涵是：设事件A在一次试验中以概率p发生。以nA表示在n次独立重复试验中事件A出现的次数，则对于任意的正数0，有贝努利大
11、数定律是用频率解释概率的数学理论，这对于利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。,应 用,在非寿险精算中，可以假设某一保险标的具有相同的损失概率，这样就可以通过以往的有关统计数据，求出一个比率即这类保险标的发生损失的频率，这个损失概率是对实际概率的估计，与实际概率之间有一个偏差。根据贝努利大数定律，随着保险标的数量的增加，根据概率的频率解释计算出来的损失概率与实际损失概率之间的误差会逐渐减少。保险人根据大数定律厘定的保费越准确，财务稳定性越强，经营危险越小。,4.2.2.3 普哇松大数定律,假设某一随机事件A在第一次试验中出现的概率为P1，在第二次试验中出现的概率为 在第n次试验中出现的概率为
12、Pn。同样用nA来表示此事件在n次试验中发生的次数，则根据普哇松大数定律对于任意的0，有普哇松大数定律的意思是说：当试验次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的比率将无限接近。普哇松大数定律运用于保险经营上可以说明，尽管各个相互独立的危险单位的损失概率可能各不相同，但只要有足够多的标的，仍可在平均意义上求出相同的损失概率。,大数定律应用于保险的意义,当保险标的数量足够大时，通过以往统计数据计算出来的估计损失概率与实际概率的误差是很小的。保险经营利用大数定律把不确定数量关系向确定数量关系转化，即某一风险是否发生对某一个保险标的来说是不确定的，但当保险标的数量很大时，我们可以比较准确的估计出其中
13、遭受危险事故的保险标的数量是多少。,4.3 保险费及保险费率厘订的基本原理,4.3.1 保险费和保险费率的内涵4.3.2 保险费率厘订的一般方法,4.3.1 保险费和保险费率的内涵,（1）保险费的含义,保险费是保险金额与保险费率的乘积。保险费由纯保费和附加保费构成。纯保费是保险人用于陪付给被保险人或受益人的保险金，它是保险费的最低界限。附加保费是由保险人所支配的费用，它是营业费用+营业锐+营业利润构成。,(2)影响保险费的因素,保险金额。在保险费率和保险期限一定的条件下，保险金额与保险费成正比。保险费率。在保险金额和保险期限一定的条件下，保险费率与保险费成正比。保险期限。在保险费率和保险金额一
14、定的条件下，保险期限与保险费成正比。,4.3.3 保险费率厘订的一般方法,从理论上讲，保险费率的厘定是在依据损失概率测定纯费率的基础上，再加上附加费率得到的。在实际业务中，保险费率的测定还需要技术支持，所以存在不同的费率厘定。一般来说，保险费率的计算方法大致有三类：分类法、增减法和观察法。,4.3.3.1 分类法,分类法是在按风险的性质分类基础上分别计算费率的方法，依据该方法确定的保险费率常常被载于保险手册中，因此又称为手册法。分类法假设风险损失是一系列相同的风险因素作用的结果，因此通常按一定的标准对风险进行分类，将不同的保险标的，根据风险性质分别归入风险性质一致的相应群体计算基本费率。我国的
15、企业财产保险按标的的使用性质分为若干类别，每一类又分为若干等级，不同等级的费率水平各异。人身保险，基本的分类依据是年龄、性别和健康状况，相同年龄和健康状况被归为一类。在使用分类费率时，可以根据所采取的防灾防损措施而加费或者减费。分类法的优点在于便于运用，适用费率可迅速查到，缺点是不尽公平。,4.3.3.2 增减法,增减法又称修正法，是在分类法的基础上，结合个别标的的风险状况予以计算确定费率的方法。增减法确定费率时，一方面凭借分类法确定基本费率，另一方面依据实际经验再予以细分，并结合不同的情况提高或者降低费率。增减法因其使用结合了风险程度的差异，因此具有促进防灾防损的作用，费率更能够反映个别标的
16、的风险情况，从而坚持了公平负担保险费的原则。增减法计算确定保险费的方法有三种。,（1）表定法,表定法以每一风险单位为计算依据，在对每一风险单位确定一个基本费率的基础上，根据个别标的的风险状况增减修正。举例：财产保险在确定费率时通常要考虑建筑物的结构、占用性质、消防设施、周围环境状况、保养情况等。表定法的优点在于能够切实反映标的的风险状况、促进防灾防损，但因管理费用较高且易因同业竞争而失效。,（2）经验法,经验法是根据被保险人以往的损失经验，对分类法所确定的保险费率予以修正的方法。经验法的显著特点是：被保险人以往的损失经验被用来确定下一保险期间的保险费率，一般用过去三年的平均损失经验数据来确定下
17、一保险期的保险费率，因此该方法又称为预期经验法。经验法的计算公式如下：M为经验调整数；A为经验时期被保险人的实际损失；E为被保险人适用某费率的预期损失；C为可靠度。举例说明：某投保人在过去3年经验期间预期损失5万元，实际损失4万元，可靠度为80%，则其经验调整可依据上式求得：即该投保人下年所缴的保费将减少16%。,（3）追溯法,追溯法是依据保险期间的损失经验数据来确定当期保险费，即保险费率当期终了时，依据实际经验再加以调整修正。一般规定保险期间的最高与最低保险费，如果损失小，则取低保险费；如果损失大，则取高保险费。追溯法的运用较经验法复杂，仅适用于少数大企业，它具有促进防损的作用。追溯保险费的
18、计算公式是：式中，RP为追溯保险费；BP为基本保险费；L为实际损失金额；VCF为损失调整系数（大于1）；TM为税收系数（大于1）。,追溯保险费举例,一厂商投保，起初所预缴的标准保费是依据经验法而定，为1万元。由此，可使用追溯法得基本保险费（BP），假如基本保险费为标准保险费的20%，即2000元，损失调整系数和税收系数分别为1.1和1.2，在保险期间，投保人损失了1000元或2万元。当其损失1000元时，应缴的保费为：当其损失额为2万元时，应缴保费为：追溯保费的缴纳有最高限额和最低限额。假设最低保费额为标准保费的50%，最高保费额为标准保费的150%。这样按最低险额，投保人损失1000元时，就
19、必须要缴5000元（1000050%）的保费，而不是3720元。当投保人损失20000元时，若按最高限额则只需缴纳15000元（10000150%），而不必缴纳28800元。追溯法的计算方法不只一种，追溯法计算复杂，其应用范围不广，仅局限于少数大规模投保人。,4.3.3.观察法,观察法又称个别法或判断法，是按具体的每一标的分别单独计算确定费率的方法。观察法确定的费率依据核保人员的经验判断，提出一个费率供双方协商。某些险种没有以往可信的损失统计资料而不能使用分类法时，就只能根据个人的主观判断确定费率，如卫星保险。观察法的可取之处：（1）根据不同性质的危险，确定出相应的费率，更具有灵活性。（2）在
20、标的数量较少的情况下，不能将各种危险生硬地集中在一起来厘定费率，这样做违反了大数定律，无法保证费率的准确性，只能用观察法。,4.4 人寿保险中保费率的厘定,4.4.1 生命表函数,4.4.1.1 生存函数4.4.1.2 死亡效力,中英文单词对照,死亡年龄生命表剩余寿命整数剩余寿命死亡效力极限年龄选择与终极生命表,Age-at-deathLife tableTime-until-deathCurtate-future-lifetimeForce of mortalityLimiting ateSelect-and-ultimate tables,4.4.1.1 生存函数,定义意义：新生儿能活到
21、岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：,剩余寿命函数,定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。分布函数：,剩余寿命的生存函数,剩余寿命的生存函数：特别：,剩余寿命,：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率,整值剩余寿命,定义：未来存活的完整年数，简记概率函数,剩余寿命的期望与方差,期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差,4.4.1.2 死亡效力,定义：的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系,死亡效力,死亡效力
22、与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数,4.4.1.3 有关寿命分布的参数模型,De Moivre模型(1729)Gompertze模型(1825),有关寿命分布的参数模型,Makeham模型(1860)Weibull模型(1939),参数模型存在的问题,至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型，这四个常用模型的拟合效果不令人满意。寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。,4.4.2.1 生命表的定义,4.4.2 生命表的构造,4.4.2.1 生命表的定义,生命表是根据以往一定时期内各种年龄的
23、死亡统计资料编制的，由每个年龄死亡率所组成的汇总表。生命表是寿险精算的科学基础，是寿险费率和责任准备金计算的依据。类型按对象：国民生命表、经验分布表按性别：男子表、女子表、男女混合表按业务：寿险生命表、年金生命表国民生命表是根据全体国民或者以特定地区的人口的死亡统计数据编制的生命表,它主要来源于人口普查的统计资料。经验生命表是根据人寿保险、社会保险以往的死亡记录(经验)所编制的生命表，保险公司使用的是经验生命表。,生命表起源,1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。1693年，Edmund Halley,根据Bre
24、slau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。,生命表的选择,不同寿险业务的精算，应结合不同分类，选择适当的生命表作为预定死亡率的基础。选择生命表作为精算基础时，应考虑生命表人群的死亡状况与计算对象的死亡状况接近。,生命表的构造,原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：,生命表的构造,个新生生命能生存到年龄X的期望个数：个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作,生命表的构造,个新生生命在年
25、龄x至x+t区间共存活年数：个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：,生命表实例（美国全体人口生命表）,生命表的解释,生命表中，首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一个合适的人数，这个数称为基数。一般选择0岁为初始年龄，并规定此年龄的人数通常取整数如10万、100万、1000万作为基数等。在生命表中还规定最高年龄，用表示，满足了l+1=0。,中国人寿保险业经验生命表（19901993 男性）,生命表构造中的变量解释,x:表示年龄。lx：生存数，是指从初始年龄至满X岁尚生存的人数。例：l25表示在初始年龄定义的基数中有l25人活到25岁。dx:死亡数，是指X岁的人在一年内死亡的人数，即指
26、X岁的生存数lX人中，经过一年所死去的人数。已知在X+1岁时生存数为LX+1，于是dx=lx-lx+1。qx:死亡率，表示X岁的人在一年内死亡的概率。显然，Px：生存率。表示X岁的人在一年后仍生存的概率，即到X+1岁时仍生存的概率。ex:平均余命或生命期望值，表示X岁的人以后还能生存的平均年数。若假设死亡发生在每一年的年中，则有：,例 1,已知 计算下面各值：（1）（2）20岁的人在5055岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。,例1 答案,4.4.3 有关分数年龄的假设,使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某
27、种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值),三种假定,均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值),三种假定下的生命表函数,例 2,已知 分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：,例2 答案,例2 答案,例 2 答案,4.4.4 保费与毛保费,4.4.4.1 保险费用简介,保险费用的定义保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付外，维持保险公司正常运作的所有费用支出统称为经营费用。这些费用必须由保费和投资收益来弥补。保险费用的范围：税金、许可证
28、、保险产品生产费用、保单销售服务费用、合同成立后的维持费、投资费用等,保险机构费用开支的一种分类方案,保费的支付方式：趸缴保费：一次性付清定期缴纳均衡保费：定期缴纳固定款额定期缴纳非均衡保费：定期缴纳可变款额,毛保费,毛保费的定义保险公司实际收取的保费为用于保险金给付的纯保费和用语各种经营费用开支的附加费用之和，即毛保费，简记为G。毛保费的厘定原则基本原则：精算等价原则毛保费精算现值=纯保费精算现值+附加费用精算现值=各种给付的精算现值+各种费用支出的 精算现值,注意事项,在确定附加费用时，一般只考虑保险费用，而以投资费用冲销投资收益，体现在保费计算中则适当降低预定收益率，即预定利率。附加费用
29、中要考虑通货膨胀或通货紧缩的趋势。,例5.5,（30）购买了保险金额为2万元的半连续型终身寿险保单，按下表所列各项费用，根据精算等价原理计算年缴纯保费和年缴毛保费。（i=6%）,未来保险费用的分配,例5.5答案,毛保费的精算现值=理赔费用精算现值+其它各种费用精算现值记G为所求年缴毛保费,例5.6,对（25）购买的保险金额为10万元的40年两全保险保单，该保单的第一年费用为100元加上毛保费的25%，续年的费用为25元加上毛保费的10%。发生死亡给付时的理赔费用为100元，生存给付时不发生理赔费用。求净均衡年缴保费和毛保费。已知,例5.6答案,保单费用,定义：有一部分附加费用只与保单数目有关，
30、与保险金额或保险费无关，这部分费用称为保单费用，如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知的费用等。保险实务一般规定：寿险费率一般是指每千元保额的保费。,毛保费分析,毛保费可分为三部分：第一部分：跟保险金额有关的费用，如承保费用等第二部分：跟保费数额有关的费用。如代理人佣金、保险费税金等第三部分：只与保单数目有关的费用（保单费用）。如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知单等。,毛保费构成公式,解释,G(b)：保险金额为b元的毛保费a：保险成本中与保险金额相关的部分，其中纯保费是它的主要部分c：每份保单分摊的费用，即单位保单费用。f：与毛保费数额相关的费用在毛保费中所占比例。,费率函数,费率函数的定义：,
