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1、Chapter 2(2),偏导数与高阶偏导数,目的要求:,一.理解多元函数的偏导数的概念,二.熟练掌握求一阶和二阶偏导数的方法,重点：,一.一阶、二阶偏导数计算,三.熟练掌握偏导数在经济分析中的应用,二.偏导数的经济应用,与一元函数类似，二元函数关于自变量的变,数学上，人们将这种变化率称之为偏导数。,第二节 偏导数与高阶偏导数,而对另一个自变量求变化率。,我们可按实际需要，把其中的一个自变量视为常数,情况下，二元函数的自变量都是彼此无关的，,化率仍然是一个十分重要的概念。由于在通常的,所以，,繁,啦,！,烦,多元函数的偏导数是一元函数导数的推广,其计算往往是借用一元函数的导数计算公式和方法,但
2、实际计算往往较繁.在推广中有一些东西将起质的变化.我们通常介绍二元函数的情形,所得结果可以推广到更高元的函数中,一般不会遇到原则性问题.,第二节 偏导数与高阶偏导数,一、偏导数的定义及其计算,在西方经济学中，柯布-道格拉斯生产函,这里 为常数，,当劳动力投入不变时,产量对资本投入的变化率为,当资本投入不变时，产量对劳动力投入的变化率,该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，,Q表示产量.,别表示投入的劳动力数量和资本数量，,分,数为,引例,对另一个变量的变化率.,第二节 偏导数与高阶偏导数,（1）函数的偏改变量（偏增量）,及,第二节 偏导数与高阶偏导数,第二节 偏导数与高阶偏导数,
3、（2）函数的全改变量（全增量）,或,第二节 偏导数与高阶偏导数,2.偏导数概念,设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,则称此极限值为z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的,记为,一元函数导数,如果极限存在,函数有增量,相应,(1)定义,当y 固定在y0,而 x 在x0 处有增量x时,偏导数.,第二节 偏导数与高阶偏导数,即,类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为,也可记为,变量 x 和 y 的偏导数均存在,则称函数,在点,可偏导.,2.偏导数概念,内可偏导.,处均可偏导,与一元函数的情况类似,函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数,（2）二元函
4、数的偏导函数（偏导数）,分别记作,函数在区域上的偏导数.,一般仍称为,第二节 偏导数与高阶偏导数,偏导数的概念可以推广到二元以上的多元函数.,如函数 在 处,第二节 偏导数与高阶偏导数,注意！,全导数,第二节 偏导数与高阶偏导数,函数导数的定义进行的：,实质上是,2.偏导数的计算,忘记了,请赶快复习一下.,如果一元函数的求导方法和公式,2.偏导数的计算,多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.,求偏导数时,只要将 n 个自变量,中的某一个看成变量,自变量均视为常数,的求导方法进行计算即可.,方法:,其余的 n1个,然后按一元函数,2.偏导数的计算,将 y 看成常数时,将 x 看成常
5、数时,解,是对幂函数求导.,是对指数函数求导.,例1 求函数 的偏导数.,2.偏导数的计算,例2 求函数 的偏导数.,例2 求函数 的偏导数.,解,2.偏导数的计算,例3 求函数 在点(1,3)处对x 和 y 的偏导数.,例3 求函数 在点(1,3)处对x 和 y 的偏导数.,解,将点(1,3)代入上式，得,可得,所以,在求定点处的导数时，,先代入固定变量取值，,然后再求导，可简化求导计算。,2.偏导数的计算,或,例4 设,求,解,所以,二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算,例 求函数 的偏导数.,对x求偏导数就是视y,z为常数，对x求导数,同理,因为,解,2.偏导数的计算,例5,解,求
6、分界点、不连续点处的偏导数要用定义求,由偏导数定义可知：,故,2.偏导数的计算,小结,二、多元函数的偏导数的概念与计算,一、多元函数的连续性,Chapter 2(3)、2（4）,一、偏导数与高阶偏导数二、全微分,P52 3.确定并画出下列函数的定义域:,解,函数的定义域为,要使函数有意义须满足,作业讲评:,Solution.,所求定义域为,作业讲评:,Solution.,P58 1.求下列极限,由夹逼准则,即,P59.4.讨论下列函数的连续性,解,Chapter 2(3)、2（4）,一、偏导数与高阶偏导数二、全微分,复习,二、多元函数的偏导数的概念与计算,一、多元函数的连续性,二元初等函数在其
7、定义区域内处处连续.,3.二元函数偏导数的几何意义,当 y=y0时,曲面z=f(x,y)与平面 y=y0 的交线方程为,在点 M0(x0,y0,z0)处,由一元函数导数的几何意义知：,fx(x0,y0)几何意义是,对x 轴的切线斜率.,同理,二元函数 z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面.,曲线,即,fx(x0,y0),第二节 偏导数与高阶偏导数,4.偏导数与连续的关系,对于二元函数偏导数与连续的关系如何？,连续,解,一元函数可导与连续的关系：,可导,由偏导数定义,例,第二节 偏导数与高阶偏导数,所以，函数在(0,0)处对变量 x，y 的偏导数存在.,让 沿直线 而趋于（0,0），,它将随k
8、的不同而具有不同的值，,结论：二元函数偏导数存在,但未必连续.,则有,所以函数在(0,0)处不连续.,不存在.,因此极限,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求,4.偏导数与连续的关系,例 说明二元函数，在点(0,0)处是连续的,但在(0,0)点偏导数不存在.,解,所以，函数 在点处(0,0)连续.,又因为,极限不存在，,因为,所以偏导数不存在.,结论：二元函数连续,但偏导数未必存在.,4.偏导数与连续的关系,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,可见，多元函数的理论除了与一元函数的理论有许多类似之处，也是还有一些本质的差别。,二、高阶偏导数,设函数 z=f(x,y)在区域 D内有
9、偏导函数 与,有下列四个二阶偏导数,按求导顺序不同,偏导数.,则称其偏导数为二阶,且其偏导数仍存在,一个多元函数的 n 1 阶偏导数的偏导数,例1 求 的二阶偏导数.,解,高阶偏导数的求导原则是逐阶求导.,二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.,同样可定义三阶、四阶以至 n 阶偏导数.,n阶偏导数.,称为原来函数的,1、先求一阶偏导数,2、再求二阶偏导数,称为一阶偏导数,（低阶偏导数）.,二、高阶偏导数,解,二、高阶偏导数,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,二、高阶偏导数,解,例3 求 的二阶混合偏导数.,
10、此例中两个二阶混合偏导数相等.,如果函数z=f(x,y)在开区域 D上二阶混合偏导数连续,在什么条件下两个混合偏导数相等？,两个混合偏导数也未必一定相等,数运算的次序不同，,但是由于求偏导,定理,则在该区域上任一点处必有,即：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关,这给混合偏导数的计算带来了方便.,二、高阶偏导数,问题：,混合偏导数都相等吗？,解,问题：,混合偏导数都相等吗？,显然,Solution.,例5,二、高阶偏导数,Proof.,例6,二、高阶偏导数,证明,这是因为连续只保证当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时,二元函数连续与偏导数之间关系：,(x0,y0)点时,变化率存在.,但不能保证点(x,y),函数 f(x,y)趋于 f(x0,y0).,沿着平行坐标轴方向趋于(x0,y0)时,反之,偏导数存在.,只能保证当,点(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋于,f(x,y)趋于f(x0,y0),(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时,f(x,y)趋于f(x0,y0).,但不能保证当点,函数 f(x,y)变化率存在,此时沿着平行坐标轴的方向,二、高阶偏导数,
