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1、第二节 偏导数,偏导数的概念高阶偏导数,一、偏导数定义及其计算法,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是,中的 x 固定于,求,一阶导数与二阶导数.,x0 处,关于 t 的,将振幅,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或 y 偏导数存在,例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.,偏导数定义为,(请自己写出),二元函数偏导数的几
2、何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!,例1 求函数,解 把y看成常量，对x求导数得,例2.求,解法1:,解法2:,在点(1,2)处的偏导数.,例3.设,证:,例4.求,的偏导数.,解:,求证,例5 求函数 在点(1,2)处的偏导数,解 先求偏导数,例6 设,解 如果先求对x的偏导数，计算比较复杂，但是若是先把函数中的y固定在y=0,则有,例7 在由 组成的一个并联电路中，若 问改变哪一个电阻，才能使总电阻R
3、的变化更大？,解 因 并联，所以,偏导数记号是一个,例8.已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数),不能看作,分子与分母的商!,此例表明,整体记号,二、高阶偏导数,设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数,则称它们是z=f(x,y),的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶,偏导数为,例9 设,求其二阶偏导数,解,定理 如果函数 z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数在区域D内连续
4、，则在区域 D内有,例10,解,例11 证明 满足热传导方程 其中a为正常数,b为任意常数,证明 因为,例12.求函数,解:,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,例如,二者不等,例13.证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,则,定理.,例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,(证明略),证:令,则,则,定理.,令,同样,在点,连续,得,内容小结,1.偏导数的概念及有关结论,定义;记号;几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2.偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序),思考与练习,解答提示:,P73 题 5,P73 题 5,6,即 xy0 时,P73 题6,(1),(2),备用题,设,方程,确定 u 是 x,y 的函数,连续,且,求,解:,
