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1、第四节 透镜的傅里叶变换性质和成像性质,一、透镜的傅里叶变换性质透镜之所以能够用于FT，再与它具有能对入射波前施加位相调制作用的能力，即透镜的二次位相因子在起作用。下面就最常用的单色平面波照明下的FT光路作出分析。观察平面都选在透镜的后焦面。衍射屏或衍射物体（指透射型的平面物体，凡能改变透射光波的振幅和位相分布的物体）相对于会聚透镜的二种位置是：紧靠透镜放置、在透镜前方相距d0处放置。暂不考虑透镜孔径的有限大小。1、衍射物体紧靠透镜放置,考察三个特定平面上的场分布：1）物体与透镜之间的平面上的复振幅分布,2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布3）后焦面上的复振幅分布,物体的复振幅透过率为，则物体
2、与透镜之间的平面上的复振幅分布为,由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为,则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为,光波从透镜传播f距离到达后焦面上所产生的场分布，可根据菲涅耳衍射公式的FT 表示式来计算,即,将 代入上式得到,表明：透镜后焦面上的光场分布正比于衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。,但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为,2、物体放置在透镜前方设物体的复振幅透过率为，它与透镜之间的距离为，前面已导出紧靠透镜之前的平面上场分布 与透镜后焦面上场分布 之间的关系，所以这
3、里只需要计算如下三个特定平面上的复振幅分布：紧靠物体之后的平面上的复振幅分布、紧靠透镜之前的平面上的复振幅分布 和后焦面上的复振幅分布。,用振幅为A的单色平面波垂直照明物体，物体的复振幅透过率为，则紧靠物体之后的平面上的复振幅分布为,根据频谱理论计算光波传播到紧靠透镜之前的平面上的场分布为,是描述菲涅耳衍射在频域效应的传递函数。,根据教材P375公式(13-118)知观察面上菲涅耳衍射光场的频谱是经历了一个相移后的物频谱，即,其中的相移因子就是这个传递函数,而,将 和 代入 中得到,不考虑透镜的有限孔径，利用透镜后焦面上的光场分布正比于物体的傅里叶变换。有,所以,可见后焦面上的复振幅分布仍然正
4、比于物体的傅里叶变换，到有一个位相弯曲。当 时，物体紧靠透镜结论与前面一致，当 时，式子变为,上面的讨论没有考虑透镜的有限孔径，它是基于透镜孔径无限大的假设做出的。事实上，由于透镜的孔径有限，它将限制物体的较高频率成分（对应于与z轴夹角较大的平面波）的传播，这就是渐晕效应。显然，物体越靠近透镜或透镜孔径越大，渐晕效应越小。渐晕效应的存在，将使后焦面上得不到完全的物体频谱。,二、透镜的成像性质在此只考虑点物成像问题：1、点物距透镜无穷远,F,如图，在紧靠透镜前平面上的光场分布为一常数，设为1，则光波透过透镜后，若不考虑透镜的有限孔径，在紧靠透镜后平面上的光场分布为,会聚球面波,所以，透镜的成像本
5、领是透镜对入射光波的位相产生调制作用的结果，正式透镜的二次位相因子改变了入射波的位相分布，使得入射平面波变为会聚球面波，所以在透镜用于FT时，使得物体平面场分布的各个频率分量会聚于透镜的后焦面，从而在后焦面上得到物体（或物体平面场分布）的频谱。,2、点物在距透镜有限远的光轴上设点物S位于距透镜为 的光轴上，则投射到透镜上的光波就是从S点发出的发散球面波。在傍轴近似下，它在透镜前平面上的场分布为,通过透镜后场分布变为,上式表示一个会聚球面波，其会聚中心是在距离透镜 的 点，这就是S成像的像点。,3、点物在距透镜有限远的光轴外如图，S发出的发散球面波在透镜前平面上的场分布，取傍轴近似，有,这样的球
6、面波通过透镜后，场分布变为,且对于距透镜 的xy平面上的点，若它满足条件则上式简化为,4、考虑透镜有限孔径时的成像此时，透射光波不再是会聚球面波，所成的像是一个衍射像斑。讨论点物在距透镜有限远的光轴上时，衍射像斑的光场分布表示式。考虑透镜的有限孔径，透镜的透射函数为,当点物在距透镜有限远的光轴上时，入射球面波通过透镜后其场分布为,通过距离 的传播在xy面（像面）上的场分布由菲涅耳衍射公式得到,表明：当考虑透镜的有限孔径时，在像面上的场分布有透镜孔径的夫琅禾费衍射图样给出，其中心点在几何像点。且说明在采用球面波照明时，透镜仍然起FT作用，只是这时频谱面不再后焦面，而位于点光源的像面。这里的讨论也
7、适用于其它复杂的透镜系统。,例题1 一块透明片的振幅透射函数为（高斯分布），r1为径向坐标。将透明片置于透镜前并紧靠透镜，透镜镜框半径为a，一单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面上的衍射复振幅分布。,解：平面波通过透明片和透镜镜框后，在透镜前平面的光场分布为,根据前面得到的结论知：透镜后焦面上的复振幅分布正比于衍射物体上的复振幅分布的FT，即公式,是透镜后焦面上的空间频率,所以,当透镜及其镜框很大时，有,于是透镜后焦面上的复振幅分布为,或者,例题2 半径为a的小圆屏置于透镜前焦面（中心在光轴上），以单位振幅的单色光垂直照明，求透镜后焦面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布和光强分布（不考虑透镜有限孔径引起的渐晕效应）。,解：这是衍射物体置于透镜前一定距离的情况，由公式：,所以此时透镜后焦面上的复振幅分布是小圆屏平面复振幅分布的FT，而小圆屏平面的复振幅分布为,所以此时透镜后焦面上的复振幅分布为,
