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1、,一、三角级数及三角函数系的正交性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第六章,6.5 傅里叶级数,四、以2l为周期的函数的傅里叶展开,问题的提出：,非正弦周期函数:矩形波,不同频率正弦波逐个叠加,一、三角级数 三角函数系的正交性,1.三角级数,三角级数,2.三角函数系的正交性,三角函数系：,上的积分不等于 0.,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,二、函数展开成傅里叶级数,问题:,1.若能展开,是什么?,2.展开的条件是什么?,1.傅里叶系数,叶系数为系数的三角级数 称为,的傅里叶系数;,由公式 确定的,以,的傅里,的傅里叶级数.,称为
2、函数,傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束,傅里叶级数,问题:,定理3(收敛定理,展开定理),设 f(x)是周期为2的,周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:,1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有,x 为间断点,其中,(证明略),为 f(x)的傅里叶系数.,x 为连续点,注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,简介 目录 上页 下页 返回 结束,周期函数的傅里叶级数解题程序:,并验证是否满足狄氏条件,(画图目的:验证狄氏条件;,由图形写出收敛域;,易看出奇偶性可减少求系数的工作量);
3、,(2)求出傅里叶系数;,(3)写出傅里叶级数,并注明它在何处收敛于f(x).,(1)画出 f(x)的图形,例1.,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,上的表达式为,解:先求傅里叶系数,将 f(x)展成傅里叶级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2)傅氏级数的部分和逼近,说明:,f(x)的情况见右图.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,上的表达式为,将 f(x)展成傅里叶级数.,解:,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:当,时,级数收敛于,机动 目
4、录 上页 下页 返回 结束,上有定义;,(3)F(x)可展为傅氏级数;,作 法,对于非周期函数,如果 f(x)只在区间,上有定义,并且满足狄利克雷充分条件,也可展,成傅里叶级数.,(1)f(x)在,(周期延拓);,级数收敛于,例3.将函数,级数.,则,解:将 f(x)延拓成以,展成傅里叶,2为周期的函数 F(x),机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,当 x=0 时,f(0)=0,得,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由奇函数与偶函数的积分性质,系数的公式,易得下面的结论.,和傅里叶,此时称傅里叶级数为,正弦级数,三、正弦级数和余弦级数,它的傅里叶
5、系数为,此时称傅里叶级数为,将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数,是非常有用的.,是否有奇偶性,余弦级数,它的傅里叶系数为,例1.设,的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里叶级数.,是周期为2 的周期函数,它在,解:若不计,周期为 2 的奇函数,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n1,根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:,级数的部分和,n2,n3,n4,逼近 f(x)的情况见右图.,n5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,函数的图形如图,电学上称为,偶函数,例,展为傅里叶级数.,锯齿波.,余弦级数,函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓 F(x),f(x)在 0,上展成,周
6、期延拓 F(x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f(x)在 0,上展成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数.,解:先求正弦级数.,去掉端点,将 f(x)作奇周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,在端点 x=0,级数的和为0,与给定函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此得,f(x)=x+1 的值不同.,再求余弦级数.,将,则有,作偶周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、周期为2l的周期函数的傅里叶级数,周期为 2l 函数 f(x),周期为 2 函数 F(z),变量代换,将F(z)作傅里叶展开,f(x)的傅里叶展
7、开式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f(x)的连续点处),其中,定理5.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:令,则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,(在 F(z)的连续点处),变成,是以 2 为周期的周期函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,令,(在 f(x)的 连续点处),证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,其中,(在 f(x)的连续点处),(2)如果 f(x)为偶函数,则有,(在 f(x)的连续点处),其中,注:无论哪种情况,在 f(x)的间断点
8、 x 处,傅里叶级数,收敛于,(1)如果 f(x)为奇函数,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理,其中,注意:若,为间断点,则级数收敛于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3.在 0,上函数的傅里叶展开法,作奇周期延拓,展开为正弦级数,作偶周期延拓,展开为余弦级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为正弦 级数.,4.周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式,(x 间断点),其中,当f(x)为奇 函数时,(偶),(余弦),5.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
