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1、1,第三章 傅里叶变换,本章提要傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析卷积和卷积定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理相关、能量谱和功率谱*,2,傅里叶生平,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中,3,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,4,3.1 变换域分析,频域分析：傅里叶变换，自变量为 j 复频域
2、分析：拉氏变换,自变量为 S=+j Z域分析：Z 变换，自变量为z,5,3.2 周期信号的频谱分析,周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：.三角函数式的 傅立里叶级数 cosn1t,sinn1t.复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t,6,一、三角函数的傅里叶级数:,直流分量,基波分量n=1,谐波分量n1,7,直流系数,余弦分量系数,正弦分量系数,8,狄利赫利条件：,在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件.,9,三角函数是正交函数,10,周期信号的另一种三角函数正交集表示,11,比较几种系数的关系,12,周期
3、函数的频谱：,周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移，Cn,13,二、周期函数的复指数级数,由前知由欧拉公式其中,引入了负频率,14,周期复指数信号的频谱图,15,指数形式的傅里叶级数的系数,两种傅氏级数的系数间的关系,16,两种傅氏级数的系数间的关系,17,周期复指数信号的频谱图的特点,引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；Cn 是实函数，Fn 一般是复函数，当 Fn 是实函数时，可用Fn 的正 负表示0和相位，幅度谱和相 位谱合一；,18,三、周期信号的功率特性,P为周期信号的平均功率符合帕斯瓦尔定理,19,四、对称信号的傅里叶级数,三
4、种对称：偶函数：f(t)=f(-t)奇函数：f(t)=-f(-t)奇谐函数：半周期对称任意周期函数有：偶函数项 奇函数项,20,周期偶函数只含直流和,其中a是实数bn=0Fn是实数,21,例:周期三角函数是偶函数,22,周期奇函数只含正弦项,Fn为虚数,23,例:周期锯齿波是奇函数,24,奇谐函数：,沿时间轴移半个周期；反转；波形不变；半周期对称,25,奇谐函数 的波形：,f(t),26,奇谐函数的傅氏级数,奇谐函数的偶次谐波的系数为0,27,例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量,周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量,周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量
5、,28,含有直流分量和正弦分量,只含有正弦分量,含有直流分量和余弦分量,29,五、傅里叶有限级数,如果完全逼近，则 n=;实际中，n=N,N是有限整数。如果 N愈接近 n，则 其均方误差愈小若用2N1项逼近，则,30,误差函数和均方误差,误差函数均方误差,31,例如:对称方波,是偶函数且奇谐函数,只有奇次谐波的余弦项。,32,对称方波有限项的傅里叶级数,N=1N=2N=3,33,有限项的N越大，误差越小例如:N=11,34,由以上可见：,N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真有吉伯斯现象发生,35
6、,第三章作业（1）,3-4，3-5，3-10,36,3.3 典型周期信号的频谱,周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波脉冲信号周期全波脉冲信号,37,一、周期矩形脉冲信号的频谱,38,39,x(t),Fn,t,0,0,E,T,-T,40,频谱分析表明,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。各谱线的幅度按 包络线变化。过零点为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：,41,周期矩形的频谱变化规律：,若T不变，在改变的情况若不变，在改变T时的情况,42,对称方波是周期矩形的特例,实偶函数,周期矩形奇谐函数,对称方
7、波奇次余弦,43,对称方波的频谱变化规律,奇次谐波,44,傅立叶级数,傅立叶级数的系数,T1 信号的周期,脉宽,基波频率1,傅立叶级数小结,45,第三章作业（2）,3-8，3-9,46,3.4 非周期信号的频谱分析,当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号,频率也变成连续变量,47,频谱演变的定性观察,-T/2,T/2,T/2,-T/2,48,从周期信号FS推导非周期的FT,傅立叶变换,49,傅立叶的逆变换,傅立叶逆变换,50,三.从物理意义来讨论FT,(a)F()是一个密度函数的概念(b)F()是一个连续谱(c)F()包含了从零到无限高 频的所有频率分量(d)各频率分量
8、的频率不成谐波 关系,51,傅立叶变换一般为复数,FT一般为复函数,若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数,52,傅立叶变换存在的充分条件,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换,53,3.4 典型非周期信号的频谱,单边指数信号双边指数信号矩形脉冲信号符号函数冲激函数信号冲激偶函数信号阶跃函数信号,54,单边指数信号,信号表达式幅频相频,55,f(t),t,0,0,0,56,双边指数信号,f(t),0,t,0,57,矩形脉冲信号,58,t,0,59,符号函数,60,f1(t),1,0,t,a,-a 0,t,Sgn(t),+1,-1,61
9、,3.5 冲激函数傅立叶变换对,1,t,0,1,0,t,0,0,62,冲激偶的傅立叶变换,63,3.6 阶跃信号的傅立叶变换,u(t),0,t,0,64,作业,3-15，3-16,65,3.7 傅立叶变换的基本性质,对称性和叠加性奇偶虚实性尺度变换特性时移特性和频移特性微分和积分特性卷积定理Paseval定理,66,一、对称性,若已知则,证明：,67,1,0,0,0,0,68,若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子,69,FT,对称性,t 换成,f 换成,换成,70,二、线性（叠加性）,若则,71,求：,的傅立叶变换,72,三、奇偶虚实性,无论f(t)是实
10、函数还是复函数，下面两式均成立,时域反摺频域也反摺,时域共轭频域共轭并且反摺,73,一、f(t)是实函数,偶函数,奇函数,实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数，而相位谱为奇函数,74,二、f(t)=jg(t)是虚函数,虚函数的傅立叶变换的幅度谱仍为偶函数相位谱仍为奇函数,偶函数,奇函数,75,实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数,f(t),0,t,0,76,实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数,f(t),0,77,四、尺度变换特性,若则,78,时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）,f(t/2),压缩,扩展,79,等效脉宽与等效频带宽度,等效带宽,等效脉宽,80,求下列时域函数的频谱的带宽,时移不
11、影响带宽,时域重复影响福频高度不影响频谱带宽,81,五、时移特性,若 则证明：,82,带有尺度变换的时移特性,若a 0,则有绝对值,83,例：求三脉冲信号的频谱,单矩形脉冲 的频谱为有如下三脉冲信号其频谱为,84,85,六、频移特性,若则证明同理,86,调幅信号的频谱（载波技术）,求：,的频谱？,87,载波频率,88,频移特性,89,调幅信号都可看成乘积信号,矩形调幅指数衰减振荡三角调幅,求它们的频谱=？（略）,90,七、微分特性,若则,91,三角脉冲,92,三角脉冲 的频谱,方法一：代入定义计算（如前面所述）方法二：利用二阶导数的FT,FT,93,八、积分特性（一）,若则,94,八、积分特性
12、（二）,若则,95,积分特性的证明,令两边求导FT 微分特性FT 积分特性,96,斜平信号 的频谱,看成高，宽 的矩形脉冲 的积分,F(0)不为0,97,FT,0,FT,FT,98,用FT积分特性求阶跃的FT,99,第三章作业（3）3-22，3-28,100,3.8 时域 卷积定理,若则,101,例：求三角脉冲的频谱,三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积,卷,乘,102,卷,乘,103,3.8 频域 卷积定理,若则,104,例：求余弦脉冲的频谱,相乘,卷积,105,乘,FT,FT,卷,106,卷积,利用卷积证明,107,求图中所示的三角调幅波信号的频谱,三角波,108,109,作业题,3-33
13、，3-34,110,思考？,（1）有多少种求单三角脉冲的傅立叶变换的方法？请论证。（2）使用傅立叶变换的基本性质求下列函数的傅立叶变换，并小结一下奇虚函数的傅立叶变换的特点，如为实偶函数的傅立叶变换又怎样？已知：求：,111,3.9 周期信号的傅立叶变换,一般周期信号的傅立叶变换傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系正余弦信号的傅立叶变换FT周期单位冲激序列的FS和 FT周期矩形脉冲的FS和FT周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系,112,一、一般周期信号的傅立叶变换,由一些冲激组成离散频谱位于信号的谐频处大小不是有限值，而是无穷小频带内有无穷大的频谱值,113,周期信号的傅立叶变换存在条件
14、,周期信号不满足绝对可积条件引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变换是一系列冲激,114,二、傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系,115,二、傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系,由FS取f(t)的一个周期，其FT为所以,116,三、正余弦信号的傅立叶变换用频移特性,117,118,三、正余弦信号的傅立叶变换用极限方法,有限长余弦 看成矩形 乘有限长余弦求极限，得到无限长余弦,119,120,121,四、周期单位冲激序列的FS,122,四、周期单位冲激序列的FT,123,FS,FT,124,五、周期矩形脉冲的FS和FT,周期重复,125,周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系,126,由单脉冲联想FS的Fn,FS,FT,127,小结单脉冲和周期信号的傅 立叶变换的比较,单脉冲的频谱 是连续谱，它的大小是有限值；周期信号的谱 是离散谱，含谱密度概念，它的大小用冲激表示；是 的包络的。,128,作业题,3-36，3-37,
