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1、1,物理光学,第一章 光的电磁理论,郜定山华中科技大学光学与电子信息学院Email:办公室：国光B207,2,第一章 光的电磁理论,内容提要：回顾电动力学，矢量运算及场论基础麦克斯韦方程组时谐电磁场及其复数形式电磁场的边值关系（不同于边界条件！）波动方程电磁场的能量,3,本章数学基础：1、矢量运算与场论基础：矢量运算：点积（内积）：叉积（外积）：,axb,4,场,设有一个区域V(有限或无限)，对于这个域内每一点M，如果都对应着一个确定的物理量，这时我们说确定了这个物理量的一个场；如果确定的物理量是数量，则称此场称为标量场；若所确定的物理量是矢量，则称此场为矢量场。例如温度场、电位场都是标量场而
2、力场、速度场都是矢量场,5,梯度：标量场f(x,y,z)在某点M(x,y,z)的梯度是一个矢量，记作：微分算符(也称为哈密顿算符)，定义为：标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。,6,散度：矢量函数F(M)在P点通量对体积的变化率；该函数在座标轴上的投影为P、Q、R，定义为微分算符与矢量F的标量积,记作：矢量的散度是通量体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量。0表示发散源,0汇聚源，=0无源。,通量,7,旋度:矢量函数F(M)旋度：大小为环流面密度的最大值，方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向；定义为微分算符与矢量F的矢量积，即:矢量的旋度是环流面
3、密度的最大值，与面元的取向有关。表示曲线、流体等旋转程度的量。,环流,8,矢量分析基本公式:矢量积分定理：高斯定理:是空间区域上三重积分与其边界上曲面积分之间关系的定理。斯托克斯定理：定理是关于曲面积分与其边界曲线积分之间关系的定理。,梯度场必是无旋场,旋度场必是无散场,9,亥姆霍兹定理,矢量场的散度、旋度和标量场的梯度都是场性质的重要度量。换言之，一个矢量场所具有的性质，可完全由它的散度和旋度来表明；一个标量场的性质则完全可以由它的梯度来表明。亥姆霍兹定理就是对矢量场性质的总结说明。无旋场的散度不能处处为零，同样，无散场的旋度也不能处处为零，否则矢量场就不存在。任何一个矢量场都必须有源，矢量
4、场的散度对应发散源，矢量场的旋度对应旋涡源。,10,11,当一个矢量场的两类源在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。因为场是由它的源引起的，所以场的分布由源的分布决定。现在矢量的散度、旋度为已知，即源分布已确定，自然，矢量场分布也就唯一地确定。研究任意一个矢量场都应该从散度和旋度两个方面去进行（或通量和环量）。,12,矢量场基本方程的微分形式：矢量场基本方程的积分形式：亥姆霍兹定理非常重要，它总结了矢量场的基本性质，是研究电磁场理论的一条主线。无论是静态场，还是时变场，都要研究场矢量的散度、旋度以及边界条件,13,源和场的关系：,14,麦克斯韦方程组,微分形式,
5、积分形式,方程（1）-推广的安培环路定理，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场；方程（2）-电磁感应定律,表明变化的磁场能产生电场；方程（3）-磁通连续性定理，表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线；方程（4）-高斯定律，表明电荷以发散的方式产生电场。,15,麦克斯韦方程组揭示的物理意义,时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发。电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体电磁场，电场和磁场分别为电磁场的两个物理量；麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，且已被事实所证明。,说明：静态场只是时变场的一种特殊情况
6、。,16,麦克斯韦方程组揭示的物理意义,电场与磁场之间的相互激发可以脱离电荷和电流而发生。电场与磁场相互联系，相互激发，时间上周而复始，空间上交链重复，这一过程预示着波动是电磁场的基本运动形态。麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的总规律。,17,电磁场基本量与辅助量,E电场强度B磁感应强度（磁通密度）D电感应强度（电通量密度）H磁场强度,关于力的，是基本量,关于源的，是辅助量,18,物质方程,E和B是基本量，D和H是辅助量；E和D之间、B和H之间的定量关系由物质属性决定。,极化,磁化,导电,19,线性光学：1、各向同性介质：为常数，介质中D与E同方向；（x，y，z）、（x，y，z）、（x，y，z
7、）是标量；、与光强无关；在透明、无损介质中=0；非铁磁性材料：r=12、各向异性介质：各向异性介质：（x，y，z）、（x，y，z）、（x，y，z）是张量；D与E、B与H、J与E方向不同。,20,非线性光学：外场E可以比拟内场的大小当E很大时，介质的极化正比于E，E2,E3；,2,3分别是一阶、二阶、三阶极化率。,21,时谐电磁场及其复数形式,时谐场：随时间按正弦或余弦规律变化的场矢量单色光波的电磁场是时谐场任意复杂多色光波是许多不同单色光波的线性叠加（后面讨论）,22,1、时谐场的实数形式（以E表示）实数形式：,23,2、时谐场的复数形式欧拉方程：复数形式：复数取实=实数形式,24,复数形式的
8、优点1、时间和空间因子分离；2、简化运算,25,3、复振幅简谐波场的 空间位相 时间位相 复振幅复振幅：场振动的振幅和位相随空间位置的变化。时间位相：场振幅随时间变化。由于在空间各处随时间的变化规律相同所以可以在讨论时省略。,复振幅线性运算，结果乘时间位相，取实部，结果不变,26,其他场矢量的复振幅表达：场矢量：D、H、B、J均可以用复振幅方法处理标量场：（r,t）也可以处理为：,复振幅线性运算（+、-、*、/），取实，与三角函数形式得出结果一致。,27,Maxwell方程的复数形式复数微分运算分别对实部、虚部实施，不改变实虚性质，取实和微分算符可以交换次序。场代入Maxwell 方程，,28
9、,电磁场的边值关系,交界面上、和的突变引起电磁场的突变麦克斯韦方程给出约束，光波在介质的分界面上电磁场量之间的关系称为电磁场的边值关系一般在两种介质的分界面上电磁场量是不连续的在没有面电荷和面电流的情况下，界面处B和D的法向分量以及H和E的切向分量是连续的,29,电磁场的边值关系,闭合曲面积分,30,电磁场的边值关系,环路积分,31,电磁场的边值关系,在两种介质的分界面上电磁场量通常是不连续的在没有面电荷和面电流的情况下B和D的法向分量以及H和E的切向分量则是连续的,四个边值关系不独立，前两个可以导出后两个。求解边界问题时，只用两个即可,32,时变电磁场中的一个重要现象就是电磁能量的流动，定义
10、单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位表面的能量为能流密度矢量（或波印廷矢量），其意义是电磁场中某点的功率密度，方向为该点能量流动的方向。,电磁场的能量,33,现在有什么？麦克斯韦方程场能量密度公式：矢量方程：,34,麦克斯韦方程：由上二式得 线性且各向同性的媒质内无外加源，媒质的参数、不随时间变化单位体积内的焦耳热损耗。,磁场能量密度,电场能量密度,35,单位体积热损耗,能量密度量纲？,磁场能量密度,电场能量密度,36,对上式取体积分 将高斯定理用于上式左边使体积分变为面积分，同时改变等式两边的符号，得到坡印廷定理或能流定理,电场和磁场能量每秒钟的增加量,变为焦耳热的功率,必然是单位时间流入
11、功率的净流量,37,电磁场引起的媒质中的传导电流JE，则,是体积内媒质热损耗所消耗的电磁功率,坡印亭定理表明体积内媒质发热消耗掉的电磁场功率，等于通过表面进入V的电磁场功率与V内电磁场能量的减少率之和。,again,38,单位时间、单位面积上流过的功率(实为功率流密度矢量);量纲:只要知道空间任一点的E和H，就知道该点电磁能量流的大小和方向。平均坡印廷矢量光强,能流（坡印亭）矢量（功率流密度矢量）:,光强,39,电磁波动方程,一维波动方程,波动方程：电磁波：从麦克斯韦方程式（各个场量之间的关系），可导出波动方程。在均匀无损耗媒介的无源区域内=0，J=0，=0,电磁场量随时间和空间的变化规律,4
12、0,从Maxwell方程到电磁波动方程第三式的旋度代入四式，令：，产生波动方程：,41,同样：电场和磁场以波动形式在空间传播，传播速度为v；解的形式取决于边界条件。,亥姆赫兹方程（复振幅形式）：,42,在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含一个未知函数。（用标量场方法分析）沿x方向振动的场分量：沿y方向振动的场分量：沿z方向振动的场分量：,43,研究电磁波的传播问题都可归结为给定边界条件和初始条件下求波动方程的解。电磁波场在空间中的分布，每一种可能的形式称为一种波模。,自由空间,平面简谐波,开放腔,高斯光束,光 纤,贝塞尔函数,44,电磁波的波函数,通解,时谐特解（基元）,最简单形式的解是否可以用来表达所有存在的波的形式,达朗贝尔解,波动,波动方程的解,信号基元分解法,45,波动：同一个物理量在不同空间点重复出现的现象一维波动方程：通解（达朗贝尔解）：t1时刻：t2时刻：随时间t沿z轴正向传播。,46,证明：是一维波动方程的一个解。,47,达朗贝尔解是线性叠加的：证明：也是一维波动方程的解。,满足信号基元分解法,48,第一章重点,Maxwell方程、物质方程复振幅与Maxwell方程复数形式边值条件电磁能及能流密度矢量波动方程作业：1.2，1.3,
