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1、,第三章 光纤模式理论Mode Theory for Optical Fibers,主要内容,阶跃折射率光纤中的场模式弱导光纤中的线偏振模光波导中模式的普遍性质波导横向非均匀性的微扰法处理纵向非均匀性与模式耦合方程,直角坐标（x,y,z）,柱坐标（r,z）,基矢,坐标系,波动光学光波导理论逻辑过程,Maxwell方程,边界条件,波动方程,场的解,边界条件,特征方程,场的解,传输常数,一.阶跃折射率光纤中的场模式,光纤的对称性与柱坐标系下的波动方程 纵向均匀光波导中场的纵横关系 Bessel方程及其解 阶跃光纤中矢量模的场分布 矢量模的特征方程、模式分类与命名规则 矢量模的特性曲线 模式的截止特
2、性、基模与光纤的单模工作条件 矢量模在光纤横截面上的场分布与光功率密度分布,结构,阶跃型光纤折射率剖面,Step index,j=1,2 芯层，包层（r,z）为柱坐标系,波动方程(柱坐标),Helmholtz,把E=Er+E+Ez 代入到波动方程，并在柱坐标系下展开,柱坐标系下，横场满足的方程十分复杂，除Ez、Hz 外，其它横向分量都不满足标量的亥姆霍兹方程。因而矢量解法是从解Ez、Hz 的标量亥姆霍兹方程入手，再通过场的横向分量与纵向分量的关系，求其他分量。,横场,纵场,纵横关系,纵向均匀、无损、z向传输,对称性的波动方程,光纤的圆对称性,电磁场沿方向为驻波解,对称性的波动方程,光纤的圆对称
3、性,电磁场沿方向为驻波解,m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程,m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程,m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程,Bessel方程的解,m阶Bessel方程m阶虚宗量Bessel方程,贝塞尔方程的解,Nm(0)=,Im()=,芯层,包层,Bessel函数,虚宗量Bessel函数,Neumann函数,虚宗量Neumann函数,贝塞尔函数性质,J函数,贝塞尔函数性质,N函数,贝塞尔函数性质,I函数,贝塞尔函数性质,K函数,贝塞尔函数递推关系(了解，会用),电磁场的纵向分量,电磁场的横向分量由“纵横关系式”得到,返回,导模条件,泄漏模和辐射模,
4、横向约束,横向辐射,传输常数,方向分量连续E|r=aH|r=a,特征方程,光纤中电磁场模式的特征方程由横向电场和磁场的边界条件得到,不同的模式,m=0,E0=0,Ez=0,TE模,H0=0,Hz=0,TM模,TE模,TM模,混合模,特征方程,HE模：,EH模：,m反映了模场分布随方位角变化情况，n为特征方程根的序号,-V特性曲线,矢量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,Km(W)的小宗量近似：,TE模,TM模,特征方程,W 0U Vc,截止时的特征方程,截止频率,Vc 不为 0!,TE0n,TM0n的截止频率,最小值TE01,TM01,EHmn的截止频率,特征方程,W 0U Vc,截止时的
5、特征方程,截止频率,最小值EH11,HE1n的截止频率,特征方程,W 0U Vc,截止时的特征方程,截止频率,最小值HE11,!,HEmn的截止频率(m1),特征方程,W 0U Vc,截止时的特征方程,模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值,单模条件,单模条件：,-V特性曲线,矢量模特性曲线,1.每一条曲线代表一个模式2.当光纤的结构参数和工作频率给定时，光纤的归一化频率一定，此时，各传导模式具有特定的传输常数。3.V越大，光纤中支持的导模数量越多。4.单模传输条件,矢量模的横向场分布,横向场分量,横向场分布,功率密度分布,电力线方程,横向场分布,电力线与磁力线,（实线：电力线，虚线：磁力线）,
6、矢量模的横向光功率密度,低阶模横向光功率密度/光强分布,TM01,TE01,HE21,TM01,TE01,HE21,TE01,HE21,TM01,TE01,HE21,HE11,HE11,HE21,二、弱导光纤中的线偏振模,弱导光纤中存在线偏振(LP)模的可能性 阶跃折射率光纤的标量近似解法 LP模的场分布与特征方程 LP模的构造 LP模的截止特性与特性曲线 光纤的功率限制因子 导模、辐射模与泄漏模,纵向场分量,横向场分量,横向分量大，纵向分量小：,矢量法的困难,横向分量形式复杂除HE11模外，各传导模式的横向场分量在光纤横截面上具有非常复杂的偏振特性，分析起来困难。,相对折射率差,弱导近似,弱
7、导近似：0，n1 n2,光纤芯子和包层的折射率非常接近，对光波导的分析会大为简化，这种光纤称为弱导光纤。,弱导光纤的特点（1）,光纤中传输的电磁场非常接近于横电磁波（TEM波）或均匀平面波。因此，电磁波在弱导光纤中传输时其横向场基本上沿同一方向极化，并保持不变。在弱导近似的条件下，光纤中支持线偏振模LP（Linearly Polarized Mode),弱导光纤的特点（2）,弱导光纤中，磁场的横向分量可以由电场的横向分量运算得出。,线偏振模横场,对于弱导光纤，可以通过适当选择坐标系，使得,满足Helmholtz方程：,线偏振模横场,Ey,Hx,线偏振模纵场,纵横关系,纵向分量与特征方程,切向分
8、量连续z分量,特征方程,二式等价LPmn模,矢量模特征方程的弱导近似,弱导近似,EHmn，TE0n，TM0n,HEmn,非弱导形式,非弱导形式,矢量模在弱导近似下的特征方程,LPmn模,m m-1 EHm-1,n,m m+1 HEm+1,n,HEmn模,TE0n,TM0n,m=1,LP1n,HE2n,m=0,HE1n,LP0n,m 1,矢量模与标量模的对应关系,EHmn(m0),TE0n，TM0n(m=0)模,标量模=矢量模的迭加,表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率,弱导光纤中模式的简并性,在 n1 n2 的弱导近似条件下，矢量模可以分为一系列模式组，每一组内的矢量模具有完
9、全相同的特征方程，因而从其传输特性来看，这些模式是简并的，它们的传输相速度相同，可以证明，每一个线偏振模均由一组简并的矢量模叠加而成。,场的迭加,截止特性,W 0,截止特性,LP0n模,LPmn模,单模条件,LP01模的归一化截止频率为10，10=0，不截止！,LP11模的归一化截止频率为01，01=2.4048,V 2.4048,只有LP01模传输基模,单模条件,矢量模结论,b：归一化传输常数,接近截止时，W 0，b 0远离截止时，U 0，b 1,光纤结构+工作波长 V bV,归一化传输常数,bV曲线,bV曲线,bV曲线与-V曲线,-V曲线,bV曲线,光纤中的功率流,纵向功率流密度Sz,芯层
10、,包层,功率限制因子,光纤芯层中传输的光功率与光纤中传输的总功率之比,反映光纤的导光能力或对光的约束能力,功率限制因子,定义,V特性曲线,辐射模和泄漏模,截止条件下，离散的、复数，非正常波形。,传导模,离散，每一个导模对应一个，满足横向谐振条件。,辐射模,连续，包层中出现辐射形式的解，产生横向辐射不满足全反射条件，不满足任何横向谐振条件。,泄漏模,波动光学光波导理论逻辑过程,Maxwell方程,边界条件,边界条件,场的解,复习,复习,光纤模式理论,矢量法,标量法,1.严格解法,近似解法前提：弱导近似n1=n2,横向分量大，纵向分量小：,TEM波，均匀平面波,矢量法,标量法,复习,2.解法烦琐，
11、结果复杂,不易分析导波特性,易于分析，结果简单,Helmholtz方程,矢量法,标量法,复习,4.,Ez,Hz,Et=eyEy Ht=exHx,矢量法,标量法,复习,5.,矢量法特征方程,复习,6.,方向分量连续E|r=aH|r=a,特征方程,标量法特征方程,切向分量连续z分量,特征方程,二式等价,复习,矢量法模式分类,复习,TE0n模：E0=0,m=0,TM0n模:H0=0,m=0,HEmn模：,标量法模式构造,复习,标量模=矢量模的迭加,矢量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,Km(W)的小宗量近似：,复习,矢量模的截止特性,模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值,单模条件：,复习,-V
12、特性曲线,复习,基模：HE11,W 0,截止特性,标量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率,V 2.4048,单模条件,复习,bV曲线,bV曲线,只有LP01模传输基模,复习,b：归一化传输常数,三、光波导中模式的普遍性质,模式的完备性及其物理含义 模式的正交性及其物理含义 2 的稳定性及其含义,模式的完备性和光场展开,任意纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加,完备性,光波导中的模式能完全反映其中的电磁场而且模式之间互相独立，正交！,光场展开,模式的完备性和光场展开,n不同模式,P=+,-正反向
13、传输的模式,辐射模在其连续谱上的积分,各模式的激发系数,(m,q）&（n,p）,正交性,m,n 模式序号q,p 模式传播方向（+，-）,正交性,任意纵向均匀无损光波导,积分遍及整个波导横截面,结论：不同模式之间彼此正交。导模与辐射模之间、辐射模之间均正交,正交性,任意纵向均匀无损光波导,结论：正反向传输的同一模式之间也彼此正交。,模式的正交性表明：,在纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的。,各模式之间不发生能量的交换和耦合。,沿正反方向传输的同一个模式也如此！,LP模的正交性,任意模式正交性的证明,纵向均匀的任意两个模式：（m,q）&（n,p）,Maxwell方程,*,波导横截面S积分
14、二维散度定理,S的边界,l的外法线方向,S足够大边界上的电磁场可忽略,m n或 pq,0,m=n且p=q,(n,p)功率的4倍,任意模式正交性的证明,LP模正交性的证明,标量波动方程,*,波导横截面S积分 二维散度定理,m n或 pq,0,m=n且p=q,(n,p)功率的2倍,任意两个线偏振模,2,弱导光波导中，任意线偏振模场n，满足标量波动方程,波导横截面S积分 二维散度定理,0,模式传输常数的平方可以由相应的模式场分布得到,2的稳定性,二维散度定理,0,结论：对于场分布的微小变化，2是稳定的,2的稳定性,四、波导横向非均匀性的微扰法处理,微扰法的基本思想 光波导问题的一阶微扰近似,横向非均
15、匀性,横向折射率非均匀分布,波导界面不规则,微扰法统一处理,寻找一个波导结构与横向非均匀波导结构相近，模场解已知，用已知解近似描述难解之解！,微扰法,两个相近的弱导波导结构：,1、可解,2、不可解,折射率分布,模场分布,传输常数,折射率分布,模场分布,传输常数,只有微小差异,微扰展开,模式的完备性,严格地，这里没有写出辐射模在连续谱上的积分,？,*,横截面上积分,？,m=n,正交性,一阶微扰近似,一阶微扰近似,差异甚小，一阶近似即可！,必要时，需要高阶微扰处理！,一阶微扰解,五、波导纵向非均匀性与模式耦合,纵向非均匀问题 耦合模方程,缓慢变化,纵向非均匀性,光波导的纵向不均匀：人为引入；制作不
16、完善；,理想波导均匀,实际波导不均匀,折射率分布,模场分布,传输常数,差异甚微,缓变函数,模式的完备性,缓变函数,乘,横截面积分,模式正交性,模式展开,耦合方程,耦合系数：模式（m,q）（n,p）之间的振幅耦合系数,模式耦合方程！,纵向非均匀性引起了各传导模式之间的耦合。模式耦合：非正规光波导，由于存在纵向非均匀性，因此无严格的模式存在。但是，仍可以找到某一个正规光波导，使得非正规光波导内的场可以展开为该正规光波导的一系列模式之和。光在光波导中传输的总功率不变，但是随着模式在波导内的传输，各模式交换携带的能量，这种现象称为模式耦合。,关于波导纵向非均匀性的几点说明,习题,Page 49.3.3
17、3.43.53.63.7,复习,光纤模式理论,矢量法,标量法,1.严格解法,近似解法前提：弱导近似n1=n2,横向分量大，纵向分量小：,TEM波，均匀平面波,矢量法,标量法,复习,2.解法烦琐，结果复杂,不易分析导波特性,易于分析，结果简单,Helmholtz方程,矢量法,标量法,复习,4.,Ez,Hz,Et=eyEy Ht=exHx,矢量法,标量法,复习,5.,矢量法特征方程,复习,6.,方向分量连续E|r=aH|r=a,特征方程,标量法特征方程,切向分量连续z分量,特征方程,二式等价,复习,矢量法模式分类,复习,TE0n模：E0=0,m=0,TM0n模:H0=0,m=0,HEmn模：,标量
18、法模式构造,复习,标量模=矢量模的迭加,矢量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,Km(W)的小宗量近似：,复习,矢量模的截止特性,模式的归一化截止频率及低阶模的Vc值,单模条件：,复习,-V特性曲线,复习,基模：HE11,W 0,截止特性,标量模的截止特性,特征方程,归一化截止频率,表3.2 与线偏振模对应的矢量模及其简并度和归一化频率,V 2.4048,单模条件,复习,bV曲线,bV曲线,只有LP01模传输基模,复习,b：归一化传输常数,模式的完备性和光场展开,任意纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加,完备性,光波导中的模式能完全反映其中的电磁场
19、而且模式之间互相独立，正交！,展开,n不同模式,P=+,-正反向传输的模式,辐射模在其连续谱上的积分,各模式的激发系数,三、光波导中模式的普遍性质,正交性,任意纵向均匀无损光波导,积分遍及整个波导横截面,导模与辐射模之间、辐射模之间均正交,(m,q）&（n,p）,N个导模沿正向传输，波导中总的传输功率=Poynting矢量纵向分量在横截面内的积分,传输功率,模式的正交性表明：在纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的各模式之间不发生能量的交换和耦合，沿正反方向传输的同一个模式也如此！,LP模的正交性,任意模式正交性的证明,纵向均匀的任意两个模式：（m,q）&（n,p）,Maxwell方程,*
20、,波导横截面S积分 二维散度定理,S的边界,l的外法线方向,S足够大边界上的电磁场可忽略,m n或 pq,0,m=n且p=q,(n,p)功率的4倍,任意模式正交性的证明,LP模正交性的证明,标量波动方程,*,波导横截面S积分 二维散度定理,m n或 pq,0,m=n且p=q,(n,p)功率的2倍,任意两个线偏振模,2,弱导光波导中，任意线偏振模场n，满足标量波动方程,波导横截面S积分 二维散度定理,0,模式传输常数的平方可以由相应的模式场分布得到,2的稳定性,二维散度定理,0,横向非均匀性,横向折射率非均匀分布,波导界面不规则,微扰法统一处理,寻找一个波导结构与横向非均匀波导结构相近，模场解已
21、知，用已知解近似描述难解之解！,四、波导横向非均匀性的微扰法处理,微扰法,两个相近的弱导波导结构：,1、可解,2、不可解,折射率分布,模场分布,传输常数,折射率分布,模场分布,传输常数,只有微小差异,微扰展开,模式的完备性,严格地，这里没有写出辐射模在连续谱上的积分,？,*,横截面上积分,？,m=n,正交性,一阶微扰近似,一阶微扰近似,差异甚小，一阶近似即可！,必要时，需要高阶微扰处理！,一阶微扰解,缓慢变化,五、纵向非均匀性与模式耦合方程,纵向非均匀性,光波导的纵向不均匀：人为引入；制作不完善；,理想波导均匀,实际波导不均匀,折射率分布,模场分布,传输常数,差异甚微,缓变函数,模式的完备性,缓变函数,乘,横截面积分,模式正交性,模式展开,133,耦合方程,耦合系数：模式（m,q）（n,p）之间的振幅耦合系数,纵向非均匀性引起了各传导模式之间的耦合，随着模式在波导内的传输，各模式交换携带的能量,模式耦合方程！,
