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1、全微分,函数f(x,y)对x的偏微分,函数f(x,y)对y的偏增量,函数f(x,y)对y的偏微分,全增量 zf(xx,yy)f(x,y).,偏增量与偏微分,f(xx,y)f(x,y)fx(x,y)x,f(x,yy)f(x,y)fy(x,y)y,函数f(x,y)对x的偏增量,根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有,f(xx,y)f(x,y),f(x,yy)f(x,y),fx(x,y)x,fy(x,y)y,全微分的定义,其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关,则称函数zf(x,y)在点(x,y)可微,而AxBy称为函数zf(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即 dzAxBy.,如果函数
2、在区域D内各点处都可微,那么称这函数在D内可微分.,如果函数zf(x,y)在点(x,y)的全增量 zf(xx,yy)f(x,y)可表示为,可微与连续 偏导数存在不一定连续,但可微必连续.,这是因为,如果z=f(x,y)在点(x,y)可微,则,zf(xx,yy)f(x,y),AxByo(r),因此函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续.,于是,从而,可微的必要条件,应注意的问题,如果函数zf(x y)在点(x y)可微 则函数在该点的偏导数 必定存在，且函数zf(x y)在点(x y)的全微分为,偏导数存在是可微的必要条件 但不是充分条件,例题:见课本例1,可微的充分条件,以上结论可推广到三元
3、及三元以上函数.,则函数在该点可微.,叠加原理,按着习惯,x、y分别记作dx、dy,并分别称为自变量的微分,这样函数z=f(x,y)的全微分可写作,二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.叠加原理也适用于二元以上的函数,例如uf(x,y,z)的全微分为,多元函数连续、可导、可微的关系,例题:见课本例2-4,练习:习题8-3A1(1);2;3;4(1),当函数zf(x,y)在点(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续,并且|x|,|y|都较小时,有近似等式zdzfx(x,y)xfy(x,y)y,即 f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y.我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.,*全微分在近似计算中的应用,f(xx,yy)f(x,y)fx(x,y)xfy(x,y)y.,zdzfx(x,y)xfy(x,y)y,例题:见课本例5-6,多元函数全微分的概念；,多元函数全微分的求法；,多元函数连续、可导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,小结,作业:习题8-3A/1(2)(5);4(2),
