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1、1.偏导数的概念及有关结论,定义;记号;几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2.偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求(复杂时)如P69 4,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法、,(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序),9.2内容回顾,公式法,在原点的各偏导数是否存在？,讨论：,是否连续？,2,显然,求,的一阶偏导数及,解:,当 时,及(0,0)点处的二阶偏导数.,同理,不存在,与,而,显然,解:,当 时,不存在,不存在,第九章,*二、全微分在数值计算中的应用(简介),应用,一元函数 y=f(x)的微分,近似计算,本节内
2、容:,一、全微分的定义,9.3 全微分,一、全微分的定义,定义:如果函数 z=f(x,y)在定义域 D 的内点(x,y),可表示成,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，,称为函数,在点(x,y)的全微分,记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f(x,y)在点(x,y)可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,由微分定义得可微必连续:,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,则,定理1(必要条件),若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏
3、导数,同理可证,证:由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,另也必连续,反例:函数,易知 fx(0,0)=fy(0,0)=0,注意:定理1 的逆定理不成立.,偏导数存在函数 不一定可微!,即:,我们已知道函数f(x,y)在(0,0)处不连续,则当然不可微.,定理2(充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微.,所以函数,在点,可微.,注意到,故有,0,例如考查函数,易知,函数在点(0,0)也连续,但,定理3(可微的充要条件)!,因此,函数在点(0,0)不可微.,在原点：偏导数是否存在？,讨论：,是否连续？是否可微？,2,0.,所以不可微.,推广:,类似可讨论三元及三元以上函
4、数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,(一阶偏导数连续),例1.计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例2.计算函数,的全微分.,解:,可知当,*二、全微分在数值计算中的应用,仅从理论上 简单讲述在近似计算方面的应用,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于近似计算函数的增量),(可用于近似计算函数值),例3.计算,的近似值.,解:设,则,取,则,9.3内容小结,1.微分定义:,2.重要关系:,3.微分在近似计算中的应用(略),(反例略),思考与练习,1.P129 题 1(总习题九),函数,在,可微的充分条件是(),的某邻域内存在;,时是无穷小量;,时是无穷小量.,2.选择题,3.设,解:,同理 可得,作业 P751(3),(4);3.预习9.4,4).f(x,y)在点(0,0)可微.,备用题,1).在点(0,0)连续;2).偏导数存在;,不连续;,证:1),故函数在点(0,0)连续;,3).偏导数在点(0,0),证明函数,显然,2),同理,极限不存在,在点(0,0)不连续;,同理,在点(0,0)也不连续.,3),4)下面证明,可微:,说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,
