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1、6.2 空间的曲面与曲线,将空间曲线c 看成某两个曲面S1:F(x,y,z)=0 与S2:G(x,y,z)=0的交线，则,若点P(x,y,z)在曲面S 上 F(x,y,z)=0，则称F(x,y,z)=0为曲面S的方程。,称为空间曲线c 的一般方程。,F(x,y,z)=0,曲面的一般方程:,曲线的一般方程:,曲线的参数方程:,一、常见曲面,基本问题：,(1)给出图形，建立曲面方程；,(2)已知坐标满足的方程，研究其表示的曲面。,1.球面,(1)以点P0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程,(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2,(2)球面方程的特点:,三元二次;,二次项x2,y
2、2,z2前面的系数相同;,没有xy,yz,zx这类交错项。,(3)由方程 x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0，配方得,(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=k,ax2+ay2+az2+bx+cy+dz+e=0,当k 0时:球面,当k=0时:点,当k 0时:虚球面,曲线C:,C,绕 z轴旋转,2.旋转面,母线,C,母线,曲线C:,绕 z轴旋转,2.旋转面,绕 z轴旋转一周得旋转曲面 S.,C,S,M(x,y,z),N,P,y,z,O,f(y1,z1)=0,曲线C:,2.旋转面,母线,旋转曲面的特点:,母线 C:,S:C中轴坐标(z)不变,用另2个变量的平方和的正负算术平方根代替方程中
3、的另1个变量.,反过来,方程中若有两个变量以平方和形式出现,这个方程的图形一般是旋转曲面.,几种常用的旋转曲面:,旋转曲面名称与母线名称对应.,绕 z轴旋转,(1)旋转椭球面:,椭圆,旋转曲面的特点:,两个平方项系数相同,母线 C:,绕 z轴旋转,O,(2)旋转双叶双曲面:,x,O,绕 x 轴旋转一周.,双曲线,旋转曲面的特点:,两个平方项系数相同,母线 C:,绕 z轴旋转,(3)旋转单叶双曲面:,a,0,旋转曲面的特点:,两个平方项系数相同,母线 C:,绕 z轴旋转,绕 y 轴旋转一周.,双曲线,(4)旋转抛物面:,抛物线,绕 z 轴旋转一周.,O,旋转曲面的特点:,两个平方项系数相同,母线
4、 C:,绕 z轴旋转,(5)圆锥面:,直线,绕 x 轴旋转一周.,旋转曲面的特点:,两个平方项系数相同,母线 C:,绕 z轴旋转,x2+y2=1,旋转曲面的特点:,两个平方项系数相同,母线 C:,绕 z轴旋转,绕 z 轴旋转一周.,直线,(6)圆柱面:,动直线平行于z 轴沿着圆移动所产生的曲面,3.柱面,沿给定曲线C 平行移动的直线L 所形成的轨迹叫做柱面。,其中的定曲线C 称为柱面的准线，动直线L 称为柱面的母线。,说明(2).可适当选取坐标系，使母线平行于坐标轴。下面考察母线平行于z轴的柱面。,则此柱面的方程为f(x,y)=0。,母线平行于,z轴，,N,(x,y,0),S,M(x,y,z)
5、S,S:f(x,y)=0,(母线z轴),圆柱面,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面,4.锥面,直线l1 绕另一条与l1 相交直线l2 旋转一周，所得的旋转曲面称为圆锥面。,说明(3).l1 与l2 的交点称为圆锥的顶点，两条直线的夹角(0/2)叫做圆锥的半顶角。,说明(4).一条直线通过定点，且沿着空间中一条定曲线移动所产生的曲面叫做锥面；定曲线称为锥面的准线，定点称为锥面的顶点，动直线称为母线。,二.常见的曲线,1.螺旋线,给定一个圆柱面 x2+y2=a2，动点P在圆柱面上以角速度 绕 z 轴旋转；同时又在平行于 z 轴的方向，以匀速 v 沿母线上升。该动点的轨迹就是螺旋线。求螺旋线方程。,动点坐
6、标(x,y,z)可以表示为,P,a,t,M,螺线从点PQ,当 t 从 02/，,图中P、Q两点间的距离,N,.,Q,称为螺距。,螺线方程也可写成,2.维维安尼曲线,3.双柱面曲线,y2+z2=a2 x2+z2=b2,(b a 0),令y=acost,z=asint,代入x2+z2=b2得,由此可得该双柱面曲线的参数方程为,(0 t 2),y=acost z=asint,三.投影柱面和投影区域,投影柱面,投影曲线,例10.求曲线c:,x2+2y2 z=0 2x2+y2+z 3=0,的投影柱面S及投影曲线c的方程。,到xOy平面,分析:,点P(x,y,z)在柱面S上,z0使P0(x,y,z0)在c
7、上,x2+y2 1=0,S,c:,空间曲线c在另外两个坐标平面上的投影柱面，及投影曲线的方程可类似求得。,一般情况:,f(x,y)=0,c在xOy面上的投影柱面,c在xOy面上的投影曲线,例11.求曲线c:,x2+2y2 z=0 2x2+y2+z 3=0,的投影柱面S及投影曲线c的方程。,到xOz平面,x2+z 2=0,中消去y,得S的方程,(1 x 1).,进而得c的方程,例12.作出,故z=4或5.,把z=4代入x2+y2+z2=25,得x2+y2=9,x2+y2+z2=25 z=x2+y25,(z 0)的简图.,得z2+z 20=0,而z 0,所以z=4.,因而该曲线也可以看成柱面x2+
8、y2=9与平面z=4的交线，其简图如右图所示。,1.椭球面,2.单叶双曲面,3.双叶双曲面,4.二次锥面,5.椭圆抛物面,6.双曲抛物面(马鞍面),一、二次曲面的标准方程,6.3 二次曲面,二、一般方程表示的二次曲面,所谓二次曲面，就是由一个三元二次方程所表示的曲面，可以利用二次型来研究它。,对于一般的二次曲面,f(x1,x2,x3)=xTAx+BTx+c=0,其中x=(x1,x2,x3)T，A=(aij)为3阶实对称矩阵，BT=(b1,b2,b3)。,由正交变换x=Qy化为,g(y1,y2,y3)=1y12+2y22+3y32+b1y1+b2y2+b3y3+c=0,1.当秩(A)=3时，再配
9、方为,h(z1,z2,z3)=1z12+2z22+3z32+c=0,原点不动的坐标轴旋转,坐标轴平移,根据系数 1,2,3 和常数 c 取值,1.椭球面,对称性:,关于原点、坐标轴、坐标面对称,区 域:,截 面:,用z=h截得的截线:,为椭圆,用x=h,y=h截得的截线类似,2.单叶双曲面,对称性:,关于原点、坐标轴、坐标面对称,区 域:,截 面:,用z=h截得的截线,椭圆,用y=k截得的截线,无界,双曲线,双曲线,两直线,用x=l截得的截线与y=k类似,对称性:,关于原点、坐标轴、坐标面对称,区 域:,截 面:,用z=h截得的截线,椭圆,用y=k截得的截线,双曲线,用x=l截得的截线与y=k
10、类似,3.双叶双曲面,z=c之上z=c之下,无交,对称性:,关于原点、坐标轴、坐标面对称,截 面:,用z=h截得的截线,椭圆,用y=k截得的截线,用x=l截得的截线与y=k类似,4.二次锥面,双曲线,两直线,过原点沿椭圆移动,2.单叶双曲面,3.双叶双曲面,4.二次锥面,5.椭圆抛物面,2.当秩(A)=2时,再配方,h(z1,z2,z3)=1z12+2z22+bz3=0,对称性:,关于yOz、xOz、z轴对称,区 域:,截 面:,椭圆,z0,抛物线,g(y1,y2,y3)=1y12+2y22+3y32+b1y1+b2y2+b3y3+c=0,根据1,2 和常数 b 取值,6.双曲抛物面(马鞍面)
11、,(a0,b0),对称性:,关于yOz、xOz、z轴对称,区 域:,截 面:,无限伸展,抛物线开口向上,双曲线,双曲线,两直线,抛物线开口向下,f(x1,x2,x3)=xTAx+BTx+c=0,x=Qy,保持原点不动的坐标轴旋转,坐标轴的平移,g(y)=yTy+BTy+c=0,y=z+,1z12+2z22+3z32=bzi+d,一般的二次曲面,二、一般方程表示的二次曲面,p=3,q=0,r(A)=3 b=0,椭球面,球面,p=2,q=1,d0,p=0,q=3,d0,单叶双曲面,d0,d0,双叶双曲面,d=0,二次锥面,r(A)=2 b0,d=0,p=2,q=0,椭圆抛物面,p=1,q=1,双曲
12、抛物面,r(A)=2 b=0,d0,p=2,q=0,椭圆柱面,p=1,q=1,双曲柱面,r(A)=1,d=0,p=1,q=0,p=0,q=1,抛物柱面,例9.利用直角坐标变换求方程z=xy所表示的曲面,并作图.,求得正交矩阵Q=,可见原方程表示一个双曲抛物面.,则原方程化为 u2 v2=2w,f(x1,x2,x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+kx2x3=1,例10.求k的值使下面的方程表示一个椭球面.,上述方程表示一个椭球面A正定,而1=2 0,3=|A|=1k2/2.,x2+y2+z2 2xz+4x+2y 4z 5=0,例11.试用直角坐标变换化简下面的方程.,则原方程可写成 TA+=5,=4,2,4,但这里|Q|=1.,可得x2+2z2=10,这表示一个椭圆柱面.,令=P,其中=u,v,wT,则原方程化为,则P也是正交矩阵,且|P|=1.,2,综上所述,经直角坐标变换,原方程化为x2+2z2=10.,a,b,c,1.椭球面,用z=a 截曲面,用y=0 截曲面,用x=b 截曲面,6.马鞍面,
