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1、第二步 求对应于x,x+dx上局部量U 的近似值,第三步,以微元为被积表达式在U定义的 区间a,b 上积分,称元素或微元,(微元法),定积分应用的元素法,第一步 确定所求量U 定义的区间a,b,(即:选积分变量，确定积分区间),不妨设,选x为积分变量,三、体积,一、平面图形的面积,二、平面曲线的弧长,6.2 定积分在几何学上的应用,(已全面讲述:直角坐标(含参数方程)与极坐标),(已介绍三个公式),并补充了旋转面的面积:,|,|,例8.计算曲线,的弧长.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求连续曲线段,解:,的弧长.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.计算摆线,一拱,的
2、弧长.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长.,解:,(P364 公式39),小结 目录 上页 下页 返回 结束,三、体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,平行截面面积为已知函数的立体体积,特别,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,旋转体的体积,例12.计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解:利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动 目录 上
3、页 下页 返回 结束,特别当b=a 时,得半径为a 的球体的体积,例13.计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.,解:绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意换限!,注 目录 上页 下页 返回 结束,柱壳(管子)体积,说明:,（薄壳法：286 19）,底面圆环面积的近似值,例14.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并,与底面交成 角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积.,机动 目录 上页 下
4、页 返回 结束,已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴:,绕 y 轴:,(柱壳法，薄壳法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(切片法),底面圆环面积的近似值,（薄壳法：286 19）,作业,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,体积部分：,P285 13;14;15(1),(4);17;18;22;25;30,P285 10 解答提示,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,P285 10,与过焦点的弦所围成图形面积的最小值,按直角坐标很困难,选焦点为极点,转化为极坐标系,利用抛物线上一点到,准线和焦点的距离相等,准线,则,面积,令,得,设圆盘,绕,旋转一周所得旋转体的体积.,提示：,备用题.1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,选 y 为积分变量,则,x,y,x=b,2.计算心形线,与圆,所围图形的面积.,解:利用对称性,所求面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(令),0,-2,3.求双纽线,所围图形面积.,解:利用对称性,则所求面积为,思考:用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,(P285 8(2),
