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1、利用导数研究函数 的极值,赤峰二中:朱明英,函数 y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?,观察图像：,例1,一、函数的极值定义,如果对X0附近的所有点X，都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点X0处取极大值，记作y极大值=f(x0)；并把X0称为函数f(x)的一个极大植点。,函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点,已知 函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，,探究 1、图中有哪些极值点和最值点？2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？3
2、、最值和极值有什么联系和区别?4、端点可能是极值点吗？,练习：课本30页A、1,（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，而最值是对整体而言。（2）极大值不一定比极小值大。（3）极值点不一定是最值点。,观察与思考：极值与导数有何关系？,在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。,f(x1)=0,f(x2)=0,f(x3)=0,f(b)=0,结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x=x0是可导的，则必有f(x0)=0,f(x)0,x1,f(x)0,f(x)0,f(x)0,二、判断函数极值的方法,x2,点评：可导函数,在点x
3、0取得极值的充分必要条,件是,且在点x0左侧和右侧，f(x)异号。,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,练习:判断下面4个命题，其中是真命题序号为。可导函数必有极值；函数的极值点必在定义域内；函数的极小值一定小于极大值。（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值）不会多于一个。,1、求可导函数f(x)极值的 步骤：,(2)求导数f(x)；,(3)求方程f(x）=0的根；,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,检查f(x)在方程根左右的符号如果
4、左正右负（+-），那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正（-+），那么f(x)在这个根处取得极小值；,(1)确定函数的定义域；,例2 求函数 的极值。,解：定义域为R，y=x2-4,由y=0可得x=-2或 x=2,当x变化时，y,y的变化情况如下表：,因此，当x=-2时，y极大值=28/3,当x=2时，y极小值=4/3,(-，-2）,(-2，2）,(2，+）,+,+,极大值28/3,极小值-4/3,2、思考与讨论：在区间-3，5上，,最小值分别是多少？-3，3上呢？,4、求可导函数y=f(x)在a,b上的最值步骤如何？,的最大值，,1、求y=f(x)在开区间（a,b)内所有使f(x）=
5、0的点；2、计算函数y=f(x)在区间内使f(x）=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。,练习,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,所以,当 时,f(x)有极小值,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以,当 x=3 时,f(x)有极大值 54;,当 x=3 时,f(x)有极小值 54.,练习,练习：下图是导函数 的图象,在标记的点中,在哪一点处,(1)导函数 有极大值?(2)导函数 有极小值?(3)函数 有极大值?(4)函数 有极小值?,或,例3 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值
6、。,解：定义域为R，y=6x(x2-1)2。,由y=0可得x1=-1,x2=0，x3=1。导函数图象如下：,因此，当x=0时，y极小值=0,点评：可导函数,在点x0取得极值的充分必要条,件是,且在点x0左侧和右侧，f(x)异号。,练习：课本30页A 2（2）,例4 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取极大值7；当x=3时取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值。,练习:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值.,解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,当a=-3,b=3时,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.,当a=4,b=-11时,-3/111时,此时x=1是极值点.,从而所求的解为a=4,b=-11.,1、可导函数的极值点概念及与导数的关系。2、求极值的方法步骤。3、极值与最值的联系与区别。4、求最值的方法步骤。5、注意：不可导函数也可能有极值点.例如函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.故函数f(x)在极值点处不一定存在导数.作业：课本30页B 1、2、4,小结,谢谢！,
