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1、第十六章 分析与综合,第一节 分析与综合概述,1、分析的意义及其作用 分析是人们认识事物的一种基本方法，人们对客观事物的认识是从感觉开始的。感觉是客观事物的各种个别属性通过一定的感觉器官在人脑中的反映，经过人的大脑的组合，人获得清晰的客观事物的形象。这是感觉分析的过程，它奠定抽象分析的基础。,抽象分析则是将思维对象的整体分解为各个部分、各个方面、各个层次或各个环节、各种因素而分别加以考察的思维方法。人们通过分析将思维对象的各个方面分解开来，然后一个一个地分别加以考察研究，才有可能深刻地认识事物，把握思维对象。【例】人们对自然数的研究，当把它分解为奇数和偶数、质数和合数等等，分别进行考察研究后，
2、人们才获得了对自然数的更深刻的认识。,可见，分析的主要作用是把整体分解为部分，把复杂转化为简单，把一般分解到个别，从而把人脑对客观事物的思维引入事物的内部，通过对事物的主要矛盾和次要矛盾、事物的共性和个性以及事物的内部联系等等的分析研究，获得对事物的本质及其规律的深刻认识。在科学研究(包括数学研究)中，分析还被看作是从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法。,【例】解答应用题，可以从问题出发，根据数量关系，找出要解决这个问题所需的条件，如果这些条件中的某个在应用题中并非已知，就把它作为新问题，找出要解决它的条件，这样逐次逆推，直到所需的条件都是已知条件，从而可以解答为止。这种分析方法广泛应
3、用在数学问题的证明、解答、计算、作图中，是一种十分重要的解题方法。,2、综合的意义及其作用在认识事物的过程中，还有一种与分析完全相反的思维过程，它就是综合。综合是把通过分析所得到的思维对象的各个部分、各个方面、各个层次、各种因素的认识联结起来，以形成一个统一的整体认识。人们通过感觉分析所感知的事物的各种属性，经过大脑的整合而产生的知觉也是一种综合，它是人对作用于感官的客观事物的各种属性的整体反映，它所得到的对象的完整形象只是人对事物的感性认识。,然而只有通过思维过程的理性分析，和在分析基础上的抽象的综合，人们才能真正地把握思维对象，达到对事物整体的深刻的理性认识。【例】通过综合，把对自然数、零
4、、分数、负数的认识提高到对有理数的认识；把对有理数、无理数的认识提高到对实数的认识等，使人们对数的本质的认识不断地深化。,可见，综合的主要作用就是把部分统一为整体，把片面概括为全面，把个别上升为一般，综合的目的就是要把通过分析所得到的思维对象的各种认识组成一个统一的有机的整体，以求在总体上把握事物，达到对事物本质及其规律性的更深刻认识。在科学研究(包括数学研究)中，与分析相反，综合则被看成是从原因推导到它所产生的结果的另一种思维方法。,【例】解答应用题，就要从已知条件出发，根据数量关系，推出由这些条件所能去求得的结果，再把这些结果作为已知条件，与原来的条件合在一起，推出新的结果，这样逐次推断，
5、一直推到题目所要求的答案。综合法同样广泛地应用在数学问题的证明、解答、计算、作图中，也是十分重要的解题方法。,3、分析与综合的辩证关系分析只有在其出发点是某种综合体(即未加分解的整体)的条件下才能进行；同样的，综合也只有当其出发点是某种被分解成各个部分或各个方面的整体时才 能进行。可见，分析与综合是互为存在的条件，综合必须以分析为基础，没有分析就没有综合,只有分析才能提供研究对象的各个部分的知识，使探求对象各个部分的相互联系以形成一种新的更深层次的整体性认识的综合成为可能；同样地，分析必须依赖于综合，任何分析总要在综合知识的指导下，从某一整体性的原则出发，才能避免盲目性，对研究对象的各个部分或
6、各个方面进行正确的分 析。,另一方面，分析与综合的辩证关系还在于它们在一定条件下的互相转化。在认识的发展过程中，当思维经过分析得到整体的各方面和各部分的知识，需要在更高的层次上把握事物的整体时，思维活动就由分析转化为综合；而当思维经过综合，使对事物整体的认识进入一个新的境界，又为进一步的分析提供了新的要求和可能，思维活动又由综合转化为分析。,由分析转向综合，又由综合转向分析，这样循环往复，是人类认识发展，建立科学理论体系的辩证过程。【例】人们对数的本质的认识，以及整个数学理论体系建立的过程，就是这样一种由分析到综合、又由综合到分析的辩证发展过程。需要注意的是，在具体研究中，分析总为一定的感性材
7、料所制约，而人类在一定历史时期的经验材料总有它的局限性，由此所作的分析，必然有它一定的局限；,另外，分析着眼于局部的研究，把本来相互联系的东西暂时割裂开来，这就可能将人的眼光限制在狭隘的领域里，造成一种孤立、片面看问题的习惯。因此，我们要把握分析与综合的辩证关系，注意用综合的思维克服分析的局限。,4、分析与综合的应用 运用分析综合的方法进行学习【例】“多项式的竖式除法”的自学。首先，找准知识连接点，揭示矛盾，建立有余的概念。要从数的竖式除法入手，在动手操作中发现问题、分析问题、解决问题。先列出有余数的两数相除，最好被除数为五位以上，除数三位为好，列竖式进行相除如下：,左边是熟悉的对450601
8、03的竖式除法。将它推广探索多项式的竖式除法之前，先分析其各步骤：被除数和除数均从左向右、高位到低位排列，被除数在除号内，除数在除号左边，0不可不写；从高位起，按除数的位数对被除数分段进行试商，不足除数一倍的被除数段往右多取一个数位；商数写在除式上方，与被除数段的末位对齐；,试商与除数的积对齐写在被除数段的下方；被除数减去积的结果写在横线下方，与未除部分一起成为新的被除数；递次进行，直至余数不足除为止。,左边是探索的对(x3+7x-5)(2x+3)的竖式除法。探索之前，先迁移分析数的竖式除法各步骤：被除式和除式均从左向右、高次到低次排列，被除式在除号内，除式在除号左边，缺项不可不写；从高次项起
9、，按除式的位数对被除式分段进行试商，不足除式一倍次数的被除式段往右多取一个次位；商式写在除式上方，与被除式段的末位对齐；,试商与除式的积式对齐写在被除式段的下方；被除式减去积式的结果写在横线下方，与未除部分一起成为新的被除式；递次进行，直至余式不足除为止。,基本方法掌握之后，还可以进一步用竖式除法练习：(x5-x3+7x-5)(x2+3)，(x5-x3+7x-5)(2x2+3)，等等。上述自学过程各个环节的实施，体现了分析与综合统一于相互转化上。教学过程中从现象到本质是以分析为主的，一旦达到了对事物本质的认识，就要用这个本质说明原来的现象，揭示规律的过程就以综合为主。随着认识的发展，还可以设置
10、一个障碍进行思考，使认识在新的层次上再转入分析，数学知识就是在这种“分析-综合-再分析-再综合”循环往复的运动过程中不断积累的。,分析综合在解题中的应用近年来，运用数学思维方法指导数学解题，已经引起了普遍重视。在解题训练中适当渗透一些解题策略思想，总结一些思维方法，使分析与综合的运用更加完善，有利于培养分析问题和解决问题的能力。以下介绍几种常用的解题策略。,分类分析 逻辑划分在数学中表现为分类思想，培养合理分类、有序思考的习惯，是贯串于数学教学始终的一项整体工程。对培养和发展数学思维的条理性、严密性，提高思维能力具有重要意义。,【例】下图中共有多少个正方形?,【分析】这个图形中按边长为3作基准
11、，采用分类计算，观察图中的5类正方形:边长为l的正置正方形有9个；边长为2的正置正方形有4个；边长为3的正置正方形有1个；边长为 的斜置正方形有5个；边长为 的正方形有12个。所以共有正方形9+4+1+5+12=31(个)。,试验式分析有些问题对解题者来说是生疏的，难以很快找到解题的方向。解题者只能摸索着寻找解题的方法，这种方法不行就试试别的方法。每一次试验，尽管有的不能直接有助于解题，但它可以从反面启发人们思考，进而猜测到解题的正确途径。这要求解题者具有猜测能力，然而猜测有赖于分析。通过分析才能克服在问题的条件中所遇到的种种障碍。,【例】要求种4棵树使互相之间有相同的距离。【分析】一开始，解
12、题者按思维惯性会在平面上作各种解题试验，但总得不到所求的答案。善于分析者会突然猜想到，问题解答的出路可能不在平面而在三维空间。在空间作4个点，互相之间的距离相等，这就是正四面体的四个顶点。因此，在解题中作“试验性分析”，有助于克服思维惯性，培养猜想能力和发散思维能力。,枚举与筛选根据问题的要求，按一定的顺序，一一列举问题的解答；或者把问题分为不重复不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况加以解决，最终解决整个问题。这种分析问题、解决问题的方法，即为枚举法。在枚举过程中，逐个试验，逐个淘汰不符合条件的解答，直到获得问题的解决，这就是筛选的思路。,【例】已知一个六位数38a75b是11的倍数，求a与b
13、。【分析】能被11整除的数的特征是：把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除奇偶位差法。根据奇偶位差法，(8+7+b)与(3+a+5)的差应是11的倍数，即(8+7+b)(3+a+5)=7+ba应该是11的倍数。由于b的取值范围是09，所以7+b的取值范围是716，又因a的取值范围是09，所以只须考虑7+ba的结果是0或1l的情况，按顺序一一枚举如下表。,下面的列表方法及运算程序为：从09列出b的值；计算各b值对应的7+b的值；由a=7+b-11或a=7+b的规律对应求在09内a的解；写出
14、7+b-a的值。共有九组解如下表（b=3时a不存在）：,退中求进有些数学问题，由于涉及的已知数很大，或者情况复杂、数量关系曲折，涉及的基础知识并不难，却难以发现解题思路。这时不妨从简单的情况或从部分已知条件入手，从中获得某些启示后，再来考虑原题的解。有的从正面顺推解题困难，可以尝试从反面倒推。总之，我们把这些特殊的分析方法叫做“退中求进”，把复杂的问题转化到基本形态的问题，“退”是为了更好地“进”，即从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体，从正面退到反面。,【例】用1到9九个数组成等于1/2的分数，要求每个分数中，九个数字每个只能出现一次。【分析】这是一道属于分数基本性质的逆向思维训练
15、题，不便于从正面去拼凑答案，可以把问题分几步思考，注意保持不重不漏的条件。先用九个数分别组成等于1/2的，分子为一位数的分数，然后再合成为一个等于1/2的多位数分数。或重复出现5，若5在分母的个位上，则分子出现小数,若5非个位数且前一位数在6以下，则产生的分母必然出现0。这都与条件不符。下面分类进行分析。,1、先考虑分子是一位数的情况，用穷举法，得：1/2=2/4=3/6=4/8=6/12=7/14=8/16=9/18，注意到：若5出现在分子，产生的分母必然出现0，不符合要求。2、再考虑分子是两位数的情况，分类进行并用穷举法，分别得：分子含1的有：13/26，14/28，16/32，17/34
16、，18/36，19/38，31/62，41/82；分子含2且不含1的有：23/46，26/52，27/54，28/56，29/58，32/64，82/164，92/184；归纳上述方法为：将两个分子各为一位数的，符合条件的a/b和c/d合成分子为两位数的方法为：ac/(b10+d)，应排除不符合条件者。,按照上面总结的规律，继续合成得：分子含3且不含1、2的有：34/68，38/76，39/78，43/86，73/146，93/186；分子含4且不含1、2、3的有：46/92，48/96，49/98，64/128;分子含5且不含14的不存在。因为5在个位时，分母个位会出现0，而5在十位时，当个
17、位是14时分母会在十位出现0，当个位是69时分母会在百十两位出现11，均不符合要求;分子含6且不含15的有：67/134，69/138，76/152，86/172，96/158;分子含7且不含16的有：78/156，79/158;,分子含8且不含17的不存在。3、再考虑分子是三位数的情况：因为数字范围太大，显然不易再用穷举法。由上面分子为一位数及分子是两位数的构造过程，可以归纳得到如下分子为三位数的合成规律：将一个分子为一位数的符合条件的a/b，与一个分子为两位数的符合条件的m/n合成分子为三位数的方法为：am/(b100+n)，或ma/(n10+b)，注意排除不符合条件者。如：与1/2可以合
18、成分子是三位数的分数的分子中可能出现3、4、8、9，,于是，1/2 与34/68可合成134/268和341/682，与43/86可合成143/286和431/862，与38/76可合成138/276和381/762，与39/78可合成139/278和391/782，与48/96可合成148/276和481/962，而与其它分数无法合成符合要求的分子是三位数的情况。4、再考虑分子是四位数的情况：将两个分子各为两位数的符合条件的a/b和c/d合成分子为四位数的方法为：ac/（b100+d），应排除不符合条件者。,如：与13/26可以合成分子是四位数的，符合条件的两位数分子中，可能出现4、7、8、
19、9，但是，13/26与任何符合条件的两位数分子分式都不能合成分子是四位数的情况，而与79/158可合成分子是四位数的，符合条件的两位数分子中，可能出现2、3、4、6，于是，79/158可以与23/46合成7923/15846和2379/4758，等等。5、分子是五位数时，分母最小也是五位数，须相异数码十个，但19只有九个数码，因此，不可能合成分子是五位数及其以上的情况了。,整体思考整体思考就是遇到问题不是从局部元素着手考虑，而是将问题看作一个完整的整体，运用全面看问题的观点，注重问题的整体结构，通过分解与重新组合，将问题的结构改造后再进行思考。【例】给出20个数，87，91，94，88，93，
20、91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88，它们的和是多少?【分析】如果能从整体结构考虑，一眼就可以看出一个隐蔽的“基准数”90，于是,先算9020=1800，再进行多退少补，即将各数字与90的差：-3，1，4，-2，3，1，-1，-3，2，-4，0，2，-2，0，1，-4，-1，2，5，-2全部累加起来为-1，即可迅速得出这20个数的和是1799。整体思考是一种重要的解题方法，在解题时，为了使问题中的各种数量关系更简明和谐，易于处理，我们经常把问题中起主导作用的数量当做一个整体，假设整体为“1”，这种数学思想应用在分数应用题和工程问题、行程问题中
21、就是典型例子。,第二节 数学中的分析法与综合法,1、分析法与综合法的概述分析法(逆推法)即指思考问题时从题目结论出发，以一系列己知定义、定理等为依据，逐步逆推，直到最后找到己知“题设”是保证结论成立的条件为止。这种“执果索因”的推理方法叫做分析法或称逆推法。,综合法(顺推法)即指思考问题时从题目条件出发，以一系列已知定义、定理等为依据，逐步推导，得出要解决的问题。这种“由因导果”的推理方法叫做综合法或称顺推法。无论采取哪种方法解题，都是分析与综合即逆推与顺推的思维过程。从条件推向问题时，要随时注意所求的问题；从问题出发推导时，又要随时依靠已知条件，不能脱离条件和已知的定义、定理等。,【例】一年
22、级的学生进行加法运算8+3，看到8，容易想到8和2组成10，这是综合；为了“凑10”，就要把3分解成2和1，这是在综合推导下的分析。这样就可以将8和2相加得10，再将10和1相加得所求的结果11，这是简单的速算法，是在分析基础上的综合。运用分析法和综合法解应用题，对发展思维能力极为重要。,2、推理思路图使用“顺推法”和“逆推法”解应用题的推理思路图，是展现解题思维过程的一种较好的直观图示。借助推理思路图的直观作用，有助于寻找解题关键，掌握条件与条件、条件与问题之间的联系。,【例】服装厂计划生产服装2650套，前5天平均每天生产218套，后来改进了方法，平均每天多生产42套，问需几天完成全部任务
23、?【解法一】用顺推法写出解题思路图(见下页中黑箭头方向)【解法二】用逆推法写出解题思路图(见下页中红箭头方向),计划生产2650套,完成全部任务需要的天数,前五天生产,前五天生产日均218套,后每天多生产42套,后每天生产套数,前五天生产总套数,剩下任务,完成剩下任务需要的天数,【解法一】顺推法解题：前5天每天218套，已生产2185套，后期每天多生产42套，即每天套，因计划为2650套，余下任务2650-2185套，于是，余下任务需时间(2650-2185)(218+42)天可知完成任务需用时间(2650-2185)(218+42)+5=1560260+5=6+5=11 天,【解法二】逆推法
24、解题：设完成全部任务需用x天，则完成余下任务需用x-5天，由于计划为2650套，余下任务2650-2185套，于是，余下任务需每天做(2650-2185)(x-5)套 得等量关系(2650-2185)(x-5)=218+42 即有 x-5=1560260=6 可得完成全部任务需用x=11天。,3、逐步逼近法在解题中的应用 在分析解答思维训练题的过程中，常常使用一种逐步逼近的分析推理方法，有利于培养学生分析综合和推理的能力。逐步逼近分析法的基本思想是，首先根据问题的条件，确定问题的解存在的大致范围，选择解题的突破口，然后一步步分析试验，排除不可能的情况，逐步缩小范围，直到完成问题的解答。,【例】
25、在题中的方框里填写适当的数字，并确定原来被除数的小数点的位置。,【分析】(i)先确定除数十分位上的数字。因为商的个位是8，而8乘以除数1.得到两位数字：81.=，所以除数的十分位只可能是1或2；此时由于商的最高位上的数乘除数1.，其积是整十：1.=0，可知除数的十分位只能是2，即除数是1.2。,(ii)由于商的最高位上的数乘以1.2得到整十数：1.2=0，知商的最高位只能是5，其积为51.2=60。从而被除数第一位数是6。(iii)由于商的个位是8，使得812=96，所以第二层的被减数为97，从而被除数第二位数是9，而且第三位数是7，,(iv)97-96=1，所以第三层的被减数的最高位只能是1
26、，且该层减数的最高位也同时为1。此时由于第三层的被减数不足除而借了两位数，可知商的十分位数必为0。(iii)由于商的末位与12的乘积是三位数，仅有9才可以实现这一结果，从而由912=108，而知被除数的末两位、第三层两个数的末两位都是08。,最后，由于小数竖式除法要求先将除数中的小数点向右移动，化为整数后方可进行，而且商的小数点应与被除数的小数点对齐，因此，除数的小数点向右移动1位成为整数后，被除数的小数点也向右移动了1位，由此而确定了商的小数点位置。从而，被除数原来的小数点应在9的后面。即知被除数为69.708。,【例】有0、1、3、4、5、9六个数字，分别用A、B、C、D、E、F表示，它们
27、的关系用式子表示如下F+E=F D-B=A CB=B DA=D 问A、B、C、D、E、F各表示什么数?,【分析】关系式和涉及的字母最少，选作突破口。由F+E=F知，E=0，由DA=D知，A=1 余下关系式和，余下数字3、4、5、9，D-B=1 CB=B 由于的结构可转化为BB=C，从余下数字可见，只能为B=3，C=9，于是成为D=1+B=1+3=4，数字只剩下5，最后得到F=5。,解数字趣味题往往要使用有关整数的各方面的基础知识，解题的思维方法是多种的，而且相互配合。一般说来，解题中要注意以下几点：第一，注意分析数的分解、尾数、奇偶性等特点；第二，逐步积累一些常用的经验数据和估算技巧；第三，数字问题中的字母、符号除特殊限制外，都只能取0至9十个数码中的一个；第四，突破口的选择无一定公式，一般地，条件最充分的地方，往往就是突破口所在，有些也具规律性。,如填乘法竖式题，一般选乘数作突破口；填除法竖式题，突破口是先定商和除数；第五，分析推理与试验相互促进。注意观察题目的特点，特别是对称性，最大与最小的界限数值，算式中隐含的进位关系不可忽视。充分借助估算，逐步缩小数字的取值范围，以减少试验的次数。,
