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1、6 2-6 刚体的定轴转动,第四章 刚体的定轴转动,4-1刚体的定轴转动4-2力矩转动定律转动惯量4-3力矩的功定轴转动的动能定理4-4角动量角动量守恒定律,本章教学内容,6 2-6 刚体的定轴转动,一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.,二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.,三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.,五 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.,四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律.,本章教学基本要求,教 学 思 路,全章
2、的教学始终以”类比法”进行。由力矩的定义及牛顿第二定律导出刚体绕定轴转动的转动定律,并与牛顿第二定律类比教学。,力矩的功与力的功类比;刚体的转动动能与质点的平动动能类比;刚体的角动量定理及角动量守恒定律与质点(系)的角动量定理及角动量守恒定律类比;刚体绕定轴转动的机械能守恒定律与质点的机械能守恒定律类比。,1.刚体的运动,在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理想模型。,平动:,刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。,一.刚体定轴转动运动学,刚体：,6 2-6 刚体的定轴转动,转动：对点、对轴,（只讨论定轴转动）,质心的平动+绕质心的转动,各质元的线量一般不同（因为半径
3、不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。,4-1刚体的定轴转动,一般刚体的运动：,4-1刚体的定轴转动,2.描述刚体转动的物理量,对定轴转动的刚体可选取垂直于转轴的一个平面进行研究.,P,点P(r,)的转动可代表整个刚体的转动.,描述点P转动的物理量为:,(1).角坐标(t),一般规定逆时针转动为正.,定义:,单位:rad/s,逆时针转动时，0,顺时针转动时，0,(2).角速度,刚体定轴转动时,只需用正负来表示方向.,角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。,(3).角加速度,定义:,单位:rads-2,4-1刚体的定轴转动,0时,刚体作加速转动;反之减速转动.,3.刚体匀变
4、速转动,当为常量时有:,质点作匀变速直线运动公式.,4-1刚体的定轴转动,(3).角加速度,对点P有,4-1刚体的定轴转动,大小关系：,一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时它的角速度0=0,经过300秒后,角速度=18000转/分.已知其角加速度与时间成正比.问在这段时间内,转子转过多少转?,4-1刚体的定轴转动,解:已知=Ct,即:,d=Cdt,积分:,由条件 t=300s 时,4-1刚体的定轴转动,再由:,积分,在0300s内,转过的转数,=3104 转,角速度为,4-1刚体的定轴转动,二 刚体定轴转动动力学,1、力对转轴的力矩,满足右手法则.,方向：,（1）外力在转动平面
5、内,只有切向分力才可能改变转动状态。,大小：,即：,4-1刚体的定轴转动,只有在转动平面内的力 才能产生转动,才能改变 刚体定轴转动的转动状态。,（2）外力不在转动平面内,（3）外力产生的合力矩,对定轴转动:,合力矩是各分力产生的力矩的代数和.,(4)一对内力对转轴的力矩,4-1刚体的定轴转动,由于成对内力大小相等,方向相反，则其力臂必相同.故力矩大小相等.,一对内力对转轴的合力矩为零.,故:整个刚体的合内力矩 为零.,半径为R,质量为m的均匀圆盘在水平桌面上绕中心轴转动,盘与桌面间的摩擦系数为,求转动中的摩擦力矩的大小.,4-1刚体的定轴转动,只有在转动平面内的力 才能产生转动,才能改变 刚
6、体定轴转动的转动状态。,（2）外力不在转动平面内,（3）外力产生的合力矩,对定轴转动:,合力矩是各分力产生的力矩的代数和.,(4)一对内力对转轴的力矩,解:设盘厚度为h,以盘轴心为圆心取半径为r,宽为dr的微圆环,其质量为,dm=dv,它对桌面的压力为:,4-1刚体的定轴转动,与桌面间的摩擦力为:,该摩擦力的力矩为:,整个圆盘的摩擦力矩为:,4-1刚体的定轴转动,2.转动定律(定轴),转动第一定律：,若,转动第二定律：,4-1刚体的定轴转动,法向力的力矩为零.,对mi用牛顿第二定律：,切向分量式为：,Fisini+fisini=miait,外力矩,内力矩,4-1刚体的定轴转动,对所有质元求和：
7、,Fi sini=（mi ri2）,内力力矩和为零，则有,定义：转动惯量,刚体定轴转动第二定律,矢量式,上式为,4-1刚体的定轴转动,(1)定轴转动时M.J均为代 数量.式中M、J、必 须对同一定轴而言。,（2）定律具有矢量性和 瞬时性。,4-1刚体的定轴转动,由转动惯量的定义知:,它是刚体中各质元的质量与各质元到转轴的距离平方的乘积之和.,与转动惯量有关的因素：刚体的质量转轴的位置刚体的形状,分离质量系统:,三.转动惯量,4-1刚体的定轴转动,连续分布质量的刚体:,单位:kgm2,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度。,4-1刚体的定轴转动,一质
8、量为m,长为l 的均匀长棒.求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.,解:建立如图坐标系,在x处取长为dx的质元,4-1刚体的定轴转动,若转轴在棒的端点呢?,用JC表示刚体过质心的转动惯量,JC,d=l/2,比较两结论,J,4-1刚体的定轴转动,平行轴定理,JC是刚体通过质心的转动惯量,d是过质心的转轴到另一平行转轴的距离.,4-1刚体的定轴转动,或,（2）对匀质圆盘:,（1）薄圆筒（不计厚度）,解:细圆环的质量可认为全部集中在半径为 R 的圆周上,故,4-1刚体的定轴转动,在r 处取宽为dr 的细圆环,设质量面密度,细环元的面积:S=2rdr,则 dm=dS=2rdr,与质量分布有关.,4-1
9、刚体的定轴转动,1.与刚体的体密度有关(几何形状简单,则与质量m有关),2.与刚体的几何形状(及体密度的分布)有关.,3.与转轴的位置及转轴的取向有关.,4.关于回转半径,定义:,rG 叫刚体的回转半径,4-1刚体的定轴转动,下图所示刚体对经过 棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）,4-1刚体的定轴转动,刚体定轴转动定律的应用,细杆长为l,质量为m,求从竖直位置由静止转到角时的角加速度和角速度.,合力矩：,解:,4-1刚体的定轴转动,由转动定律,而,于是,利用,有,利用初始条件:t=0,0=0,0=0,4-1刚体的定轴转动,积分:,在角时,角速度为,落体法求转动惯量,
10、4-1刚体的定轴转动,实验测出：R,m1,h,t1,m2,t2,落体法求转动惯量,由运动学关系,4-1刚体的定轴转动,联立上四个方程:,对第一次测量,其中,对第二次测量,其中,4-1刚体的定轴转动,联立(5)(6)式得,注意下图的区别:,4-1刚体的定轴转动,4-3刚体定轴转动的动能定理,1、力矩的功,一.刚体转动的动能定理,力矩作功是力作功的角量表达式,2、转动动能,所有质元的动能之和为：,定义：刚体的转动动能,3、定轴转动的动能定理,力矩做功：,或由转动定律,4-3刚体定轴转动的动能定理,当=1时，=1,刚体定轴转动的动能定理,4-3刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等
11、于刚体转动动能的增量。,4、刚体的重力势能,一个质元：,整个刚体：,4-3刚体定轴转动的动能定理,一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。,对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。,5.刚体的机械能守恒定律:,5.刚体的机械能守恒定律,4-3刚体定轴转动的动能定理,4-4刚体角动量角动量守恒定律,1.质点的角动量,定义:质点m对点O的 角动量,m,注意:,(2)质点的角动量是对参考 点而言的.,(3)其大小可以表达为 mvd,大小:L=mvr sin,方向满足右手螺旋关系.,特例:质点在平面上作圆周运动,质点对O的角动量大小为
12、:,L=rmv=m r2,若考虑方向有,2.质点的角动量定理,4-4刚体角动量角动量守恒定律,且,2.质点的角动量定理,故,作用于质点的合力对参考点O的力矩,等于质点对该点O的角动量对时间的变化率.,则,而,4-4刚体角动量角动量守恒定律,上式还可写为,积分形式:,对同一参考点O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.,质点的角动量定理,1.M和L应对同一参考点。,2.定律只适用于惯性系。,4-4刚体角动量角动量守恒定律,3.质点的角动量守恒定律,即当质点所受对参考点O的合力矩为零时,质点对该参考点O的角动量为一恒矢量.,质点的角动量守恒定律,注意 1、条件：,如有心力，对力心。,4-4刚体角
13、动量角动量守恒定律,（3）定律与惯性系中参考点的选择有关。质点在同样外力作用下，对某参考点力矩为零，而对另一参考点力矩不为零，如圆锥摆对圆心o角动量守恒,而对悬点角动量不守恒。,（2）定律具有坐标独立性。,4-4刚体角动量角动量守恒定律,如图所示,一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内,有一质量为m的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始静止于圆环上的A点(该点通过环心O的水平面上),然后从点A开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度.,重力矩为:,由,(方向向里),M=mgR cos,4-4刚体角动量角动量守恒定律,有,又,由:t=0,0=0,L0=0
14、,即,4-4刚体角动量角动量守恒定律,4.刚体定轴转动的角动量,如图刚体上的一个质元mi 对z轴(或O点)的角动量为,4.刚体定轴转动的角动量,4-4刚体角动量角动量守恒定律,刚体对z轴的角动量,5.刚体定轴转动的角动量定理,对质元i,对所有质元求和:,而刚体的内力矩和为零.,4-4刚体角动量角动量守恒定律,刚体绕某定轴转动时,作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率.,由,当J为恒量时,转动定律的另一种表达形式.,4-4刚体角动量角动量守恒定律,再看力矩对时间的累积:Mdt=dL,两边积分:,叫冲量矩.,作用在物体上的冲量矩等于物体角动量的增量.,角动量定理,4-4刚体角动
15、量角动量守恒定律,6.刚体的角动量守恒定律,如:M=0,则有:,L=J=恒量,即：如果物体所受合外力矩为零,或者不受外力矩作用,物体的角动量保持不变。角动量守恒定律.,1.当J=恒量,J=J0,则=0,匀角速转动,如:回转仪,定向装置.,4-4刚体角动量角动量守恒定律,2.当J可变化时,J=J0,如:滑冰运动员旋转时两臂收拢转速快。,讨论:,1.在有心力作用下的质点其角动量守恒.如:天体的运动,电子的绕核运动,合外力都不为零,则动量不守恒,但角动量守恒.,2.若刚体由几部分组成,角动量守恒时,如一部 分运动,则其它部分必 反向运动.,4-4刚体角动量角动量守恒定律,细杆长为l可绕O点转动,当细
16、杆水平静止时,小虫以速率v0垂直落到距点O为l/4处,并向A点爬行.设小虫和细杆质量都为m.细杆以恒定的角速度转动,小虫的爬行速率为多少?,例2,4-4刚体角动量角动量守恒定律,小虫,杆系统角动量守恒,解:小虫与细杆的碰撞为完全非弹性碰撞,且略去重力的冲量矩,小虫在爬行时,系统受重力矩,角速度为恒定,由角动量定理,此时细杆获得角速度,4-4刚体角动量角动量守恒定律,系统的转动惯量为,即:,由=t,4-4刚体角动量角动量守恒定律,小虫在爬行时,系统受重力矩,杂技演员M从h高处下落,弹起N.设跷板长l,质量为m.C为转动支点.M、N质量都为m.,M与板为完全非弹性碰撞.问N可弹起多高?,4-4刚体
17、角动量角动量守恒定律,解:M落到A处,速率为,碰撞后M、N有共同的线速度,以M、N板为系统,合外力矩为零,碰撞过程角动量守恒.,而,4-4刚体角动量角动量守恒定律,于是,演员N以速率u 跳起,达到高度h,4-4刚体角动量角动量守恒定律,由动能定理有,对M:,解:M和m受力如图.,N和Mg对o的力矩为零.,4-4刚体角动量角动量守恒定律,对m:,由于无相对滑动,有,解得,4-4刚体角动量角动量守恒定律,解法二:用机械能守恒定律求.,解得结果相同.,讨论:,下落速度v与时间t的关系,对M:,对m:,4-4刚体角动量角动量守恒定律,4-4刚体角动量角动量守恒定律,大学物理习题集（上）练习七,作 业,
