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1、2.2 连续函数的运算与初等连续性,定理1,例1,由于连续性是特定的极限形式,借助极限的四则运算法则,可得到连续函数的如下运算性质:,一、连续函数的运算性质,1.四则运算,例2,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证,根据连续函数运算法则,可知,也在,上连续.,2.反函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调、连续的反函数.,例如,在 上单调递增且连续,故,在 上也单调递增且连续.,同理,在 上单调递减且连续;,而,在 上单调递增且连续,在 上单调递减且连续.,小结 三角函数及其反函数在其定义域内皆连续.,注意到前述运算性质及三角函数的连续性,我们有,定理3 连续函数的复合函
2、数是连续的.,证 设函数,于是,故复合函数,且,即,3.复合函数的连续性,又如,由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,附注 定理3的意义与应用：,1)给出了变量代换 的理论根据：,例3 函数,例4 求,解,原式,例5 求,解 令,则,原式,特别 对 有,2)给出了复合函数求极限的简洁方法-极限符号与函数符号可以交换顺序.,例6 求,解,原式,说明 若,则有,（待证）,二、初等函数的连续性,指数函数,在上述运算性质的基础上,由于,在 上单调而连续;,从而,在 上单调连续;,进而,幂函数,对 的不同取值,在相应的定义域上均连续.,综上所述并 结合初等函数的定义,即得如下的:,定理5 基本初等
3、函数在定义域内连续.,定理6 初等函数在其定义区间上连续.,说明 定义区间是指包含在定义域内的区间.,1)初等函数仅在其定义区间内连续,而在整个定义域内不一定连续.,例如,但在原点x=0 的邻域内没有定义,注意,2)由此给出了初等函数求极限的最基本方法-代入法：,的定义域为,上连续.,故仅在区间,例7,例8,解,解,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,思考与练习,续?,反例,处处间断,处处连续.,反之是否成立?,提示:,“反之”不成立.,2.阅读：书P42 例3；,1.,三、作业,课后练习(P42):思考题;习题1;3;书面作业(P42):习题1;2;,
