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1、,第七章 动量定理,理论力学,1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非 常困难。2、大量的问题中，不需要了解每一个质 点的运 动,仅需要研究质点系整体的运 动情况。,动力学普遍定理概述,对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。,对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程，联立求解它们即可。,实际上问题是,动力学,动力学普遍定理以简明的数学形式，表明两种量 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等)之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。,本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系，并研
2、究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理。,动力学首先讨论动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。,动力学,71 质点系的动量 72 动量定理与质心运动定理 73 动量守恒与质心运动守恒 74 变质量质点的运动微分方程,第七章 动量定理,动力学,一、质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。,7-1 质点系的动量,在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。,动力学,质心 C 点的位置：,（平行力系中心）,动力学,例1 曲柄OA以匀角速度转动，滑块B沿x轴滑动。
3、若取OA=AB=l,OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2，且m1=m2=m，求此系统的质心运动方程。,动力学,解：设t=0时OA杆水平，则有=t。,消去t 得轨迹方程,动力学,二、质点系的动量 1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kgm/s。,动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。,例：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。,动力学,2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的 矢量和。,例：,动力学,质点系动量的计算：,投影形式：,如：坦克的履带质量为m。设坦克前进速度为v，则履带的动量是多少？,动力学,
4、3.刚体的动量,a.单个刚体：,p=Mvc,例：,动力学,b.刚体系统的动量：设第i个刚体 则整个系统：,动力学,例2 曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆,质量各为m,滑块B的质量也为m。求当=45时系统的动量。,解法：（1）按 求解（2）按 求解,动力学,曲柄OA：滑块B：连杆AB：（P为速度瞬心）,解：（解法一）,动力学,解：（解法二）,系统任意时刻的质心坐标为,按 求解,动力学,系统的动量沿x、y轴的投影,质心速度,故,由于,动力学,系统的动量为,动量的方向沿质心轨迹的切线方向。,将 m1=m2=m3=m，t=45 代入,动力学,2力是变矢量
5、：（包括大小和方向的变化）元冲量：冲量：,1力是常矢量：,三冲量:力与其作用时间的乘积称为力的冲量,3合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和,动力学,7-2动量定理与质心运动定理,一质点的动量定理,质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力,质点的动量定理,二质点系的动量定理,对质点系内任一质点 i，,动力学,对整个质点系：,外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。,内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：,动力学,质点系的动量定理,即：质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所 有外力的矢量和
6、。,定理说明：只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量。,动力学,动力学,例3 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为,转子质量为.定子和机壳质心,转子质心,角速度 为常量.求基础的水平及铅直约束力.,动力学,得,解:,由,动力学,方向:,动约束力-静约束力=附加动约束力,本题的附加动约束力为,方向:,电机不转时,称静约束力;电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束力.,动力学,例4 流体流过弯管时，在截面A和B处的平均流速分别为 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，密度为(kg/m3）。,动力学,运动分析，设经过
7、时间后，流体AB运动到位置ab，,解：,取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。,受力分析如图示。,由质点系动量定理；得,动力学,静反力，动反力,计算 时，常采用投影形式,与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力,即,动力学,例如，一喷射水流以速度为4.5m/s沿水平方向射入一光滑固定叶板，如图所示，设水流的流量为0.05m3s，则流体所受的的动压力为,动力学,将 代入到质点系动量定理，得,若质点系质量不变，,则 或,上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。,1.投影形式：,三质心运动定理,动力学,注意：质
8、心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，无论它作什么形式的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，所有外力也集中作用在质心这个点上。,或,或者,动力学,例5 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1,转子质量为m2,转子的轴通过定子的质心O1,但由于制造误差,转子的质心O2到O1的距离为e。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束力。,动力学,解:取整个电动机作为质点系研究，分析受力：受力图如图示 运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向
9、O1。,动力学,根据质心运动定理，有,可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。,动力学,例6 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C.在活塞上作用一恒力F.不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx.,动力学,显然,最大水平约束力为,应用质心运动定理,解得,解:如图所示,动力学,动力学,课堂练习1 试求图中各均质物体的动量。设各物体质量为m。,课堂练习2 行星轮系由均质的系杆OA、中心齿轮1、行星齿轮2及固定的内齿圈3组成。已知齿轮1、2的半径分别
10、为r1和r2；质量分别为m1和m2，系杆的质量为m，以角速度绕轴O转动。求轮系的动量。,动力学,动力学,课堂练习3 质量为m1的物体A，借助于滑轮装置和质量为m2的物体B来提升。滑轮D和E的质量分别为m3和m4，质心与形心重合。物体B以加速度a下降，试求定滑轮E的轴承O的反力。绳索质量忽略不计。,动力学,课堂练习4 自动传送带运煤量为7200kg/h，胶带速度v=1.5m/s，求匀速度传动时，胶带作用于煤块上的总水平推力。,30N,动力学,课堂练习5 凸轮机构中，凸轮以等角速度绕定轴O转动。质量为m2的滑杆借右端弹簧拉力使其顶到凸轮上，当凸轮转动时滑杆作往复运动。设凸轮为一均质圆盘，质量为m1，半径为r，偏心距为e。求在任意瞬时机座螺钉的总反力与附加动反力。,结束,动力学,
