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1、1.1.1变化率问题,1.1.1变化率问题,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,微积分主要与四类问题的处理相关:,一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。,1.1.1变化率问题,问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与
2、半径r(单位:dm)之间的函数关系是,如果将半径r表示为体积V的函数,那么,我们来分析一下:,当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?,请计算,请计算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,平均变化率定义:,若设x=x2-x1,
3、f=f(x2)-f(x1)则平均变化率为,这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样f=y=f(x2)-f(x1),上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,思考?,观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,做两个题吧!,1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A 3 B 3x-(x)2C 3-(x)2 D 3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+x,练习：,2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.,A,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率,练习：,过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.,
