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1、1,第六章 单变量微分学,郇中丹2006-2007学年第一学期,2,基本内容,0 微积分的创立1 导数和微分的定义2 求导规则3 函数一点行为的导数刻划4 区间上的可导函数(中值定理)5 不定式6 Taylor公式7 用导数研究函数8 割线法和切线法(Newton方法),3,0 微积分的创立,Isaac Newton(1642-1727)Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716),4,Isaac Newton(1642-1727),1661.6(顺治18年)入剑桥三一学院(半公费(做仆人挣钱缴交学费的)学生),数学指导教师Isaac Barrow(1630-1677
2、),1664.1(康熙3年)获学士学位.1664-1666英国流行黑死病(鼠疫),1665-1666牛顿回家乡呆了18个月,其间发明了流数(Fluxion)法(变量为流,变化率为流数)、发现了万有引力定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成.1665年11月发明“正流数法”(微分法)，1666年5月发明“反流数法”(积分法)，1666年10月总结文稿“流数简论”，建立了微积分基本定理。,5,Isaac Newton(II),1669接替Barrow的教授职位;1687(康熙26年)出版Mathematical Principles of Natural Philosophy.Newton有关流数
3、的著作到他身后才发表(1736).,6,Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716),1661入Leipzig大学学法律,1663获学士,1666具备获法学博士的资格(出于嫉妒,该校教师拒绝授予),被另一所大学授予博士和请其为教授(他拒绝了后者).作为律师,他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔波,使得他具有在任何时间、任何地点和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅比一般人的都小。,7,Leibniz(II),1666其称作“中学生随笔”的组合艺术中立志要创造出“一般方法和普适语言，其中
4、所有推理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只会有计算错误”，为此他创立了符号逻辑但未能完成,发明了能做四则运算和开方的计算机。由于其才能而被种种琐事困扰。1672-1673请求Huygens教授了他现代数学;在英国了解到了无穷级数方法。1675年发现了微积分基本定理，1677年7月11日将其发表，其方法主要经过James和John Bernoulli兄弟的发展而成为一种强有力而又容易运用的工具。,8,Leibniz(III),Leibniz建立微积分的基本记号和术语,包括微积分(Calculus,原意是鹅卵石,用于计数),微分(原意是差的,Differential),微分,求导和积分的符号.
5、建立了四则运算的求导规则.1673年引入函数的术语。提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判断。,9,1.导数和微分的定义,微分和导数概念的意义函数增量与微分和导数连续与导数和导数的解释,10,微分和导数概念的意义(I),微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间隔或空间上的变化量。导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间到空间，由一维到高维，由有限维到无穷维。由近似到线性映射。,11,微分和导数概
6、念的意义(II),导数的物理背景:随时间或空间的变化率(rates of change),包括各种瞬时速度、各种密度、浓度或强度等等。导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。,12,函数增量与微分和导数,设在a的一个邻域上有定义.增量定义:称Dx=x-a为自变量x在a处的增量,D(x)=(x)-(a)为在a处的增量.微分定义:若cR使得D(x)cDx(Dx0),就称线性函数g(Dx)=cDx为D(x)(也叫在a处)的微分,记做d(x)或d.Dx也记做dx.
7、此时称在a处可微.导数定义:若cR使得D(x)/Dxc(Dx0),称c为在a处的导数,记做c=(a)或d/dx(a)=D(a).小结:若在a处可微,D(x)=d(x)+g(Dx)Dx(a(0)=0),d(x)(a)dx.d(x)也叫做函数增量D(x)的线性部分.,13,连续与导数和导数的解释,可微与连续:若在a处可微,则在a处连续.左导数和右导数:右导数(a+),左导数(a-).导数与左右导数:在a处有导数当且仅当在a处左右导数存在且相等.切线定义:曲线y=(x)在(a,(a)的切线定义为直线:y=(a)+(a)(x-a).导数(a)的几何解释:曲线y=(x)在(a,(a)的切线的斜率.导数(
8、a)的物理解释:若(x)为物体在时间间隔t0,a内运动的路程,(a)为在时刻a的瞬时速度.,14,习题十八(I),1.用定义计算下列函数在x=0点的导数:(1)(0)=0,若x0,(x)=x2 sin 1/x;(2)(0)=0,若x0,(x)=exp(-1/x2);(3)Dirichlet函数D(x);(4)xD(x);(5)x2D(x).2.证明:若(0)存在,则n(1/n)-(0)(0)(n).反过来成立吗？3.设(0)=0且(0)存在.计算数列:xn=(1/n2)+(2/n2)+(n/n2)的极限.计算数列极限:(1)xn=sin(1/n2)+sin(2/n2)+sin(n/n2);(2
9、)yn=(1+1/n2)(1+2/n2)(1+n/n2).,15,习题十八(II),4.设函数在x=0的一个邻域上有定义并且满足:xI,(x)(0).证明:如果(0)存在,则(0)=0.若,16,2 求导规则,复合函数求导的链式法则反函数求导公式一阶微分形式的不变性求导运算的算术性质初等函数求导公式双曲函数及其求导公式,17,复合函数求导的链式法则,定理:设在a点可微,g在(a)点可微,则h=g在a点可微,并且h(a)=g(a)(a).证明:记a=(a),b=g(a).则(1)D(x)=a Dx+a1(Dx)Dx(a1(0)=0),(2)Dg(y)=b Dy+b1(Dy)Dy(b1(0)=0)
10、.因此,Dh(x)=bD(x)+b1(D(x)D(x)=baDx+ba1(Dx)Dx+b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx)Dx)=baDx+g(Dx)Dx,其中g(Dx)=ba1(Dx)+b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx)满足g(0)=0.所以,h(a)=ba=g(a)(a).#,18,反函数求导公式,定理:设C(I),g是在(I)上的反函数,这里I是区间.若在a点可微且(a)0,则g在b=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b).证明:由在(I)上有反函数,在I上严格单调,因此,gC(I).只要证明g(b)存在就够了.而这由(g(y)-g(b
11、)/(y-b)=(g(y)-g(b)/(g(y)-(g(b)和复合函数的极限性质就得到结论.#,19,一阶微分形式的不变性,这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法:设的微分是d(x).若x=g(t)有微分dx=dg(t),则d(g(t)=(g(t)dg(t)=(x)dx=d(x).这看似空洞的公式,许多时候有意想不到作用,同类的公式在高阶导数时不再成立.,20,求导运算的算术性质,设何g在a点可微,cR.则+g,c,g在a点可微,若g(a)0,/g在a点也可微.并且(+g)(a)=(a)+g(a);(c)(a)=c(a);(g)(a)=(a)g(a)+(a)g(a);(/g)(a)=(a)g
12、(a)-(a)g(a)/g(a)2.证明:极限性质和导数定义的应用.#,21,初等函数求导公式,基本初等函数求导公式:(c)=0;(x)=1;由归纳法：(xn)=nxn-1;(exp x)=exp x;由链式法则,(ax)=ax ln a;反函数求导规则:(ln x)=1/x;(loga x)=(ln a)/x;(xa)=axa-1;以及(uv)=uv(vln u+vu/u).(sin x)=cos x;由求导运算的算术性质得到:(cos x)=-sin x;(tan x)=sec2 x;(cot x)=-csc2 x;(sec x)=tan x sec x;(csc x)=-cot x cs
13、c x.由反函数求导规则:(arcsin x)=1/sqrt1-x2;(arccos x)=-1/sqrt1-x2;(arctan x)=1/(1+x2);(arccot x)=-1/(1+x2);(arcsec x)=1/(|x|sqrtx2-1);(arccsc x)=-1/(|x|sqrtx2-1).,22,双曲函数及其求导公式,双曲函数定义:sinh x,cosh x,tanh x,coth x,sech x,csch x.双曲函数求导公式:(sinh x)=cosh x;(cosh x)=sinh x;(tanh x)=sech2 x;(coth x)=-csch2 x;(sec x
14、)=-tanh x sech x;(csch x)=-coth x csch x.反双曲函数求导公式:(arcsinh x)=1/sqrt1+x2;(arccosh x)=1/sqrtx2-1;(arctanh x)=1/(1-x2);(arccoth x)=1/(1-x2);(arcsech x)=1/(xsqrt1-x2);(arccsch x)=-1/(|x|sqrtx2+1).,23,若,24,若,25,3 函数一点行为的导数刻划,26,若,27,若,28,4 区间上的可导函数(中值定理),29,若,30,若,31,5 不定式,32,若,33,若,34,6 Taylor公式,35,若,36,若,37,7 用导数研究函数,38,若,39,若,40,8 割线法和切线法(Newton方法),41,若,42,若,43,习题十八,1.计算下列极限 若,44,若,45,若,46,若,
