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1、1,第七章 微分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 可分离变量的微分方程,第三节 齐次方程,第四节 一阶线性微分方程,第六节 高阶线性微分方程,第七节 常系数齐次线性微分方程,第八节 常系数非齐次线性微分方程,第五节 可降阶的微分方程,2,（一）引言（二）基本概念,第一节 微分方程的基本概念,3,函数,变量间的联系,实际问题,含有未知函数及其导数的等式,求解,微分方程,例1,分析：,4,表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程.,例,基 本 概 念,微分方程:,微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,微分方程的阶：,(n 阶显式微分方程),一般地,n阶常微分方程的形式是,
2、或,常微分方程,偏微分方程,未知函数,一元函数,多元函数,5,微分方程的解:,例,特解:,x=0,y=0,初始条件,微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,确定了通解中任意常数后的解.,通解：,通解,特解,代入微分方程使方程恒成立的函数.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,求微分方程满足初始条件的特解的问题.,初值问题:,6,解,例2 验证函数 是微分方程,的解.,的特解,并求满足初始条件,所求特解为,7,2 可分离变量的微分方程,一阶微分方程：,或,-对称形式,可分离变量的微分方程.,转化,解分离变量方程,8,可分离
3、变量方程,解法,(显式)通解,隐式通解,特解,设 y(x)是方程(1)的解,则有恒等式,9,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C 为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解 y=0),10,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C=1,(C 为任意常数),故所求特解为,11,解,由题设条件,衰变规律,技巧,12,例4.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C 为任意常数),所求通解:,13,练习：,解法 1 分离变量,即,(C 0),解法 2,故有,积分,(C 为任意常数),所求通解:,积分,14,思 考,求下列方程的通解:,提示:,(1)分离变量,(2)方程变形为,15,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x 及 y=C,16,作业,P 304 1(1)，(4),(5),(7),2(3),(4);,预习：第三节,
