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1、5.2 回归分析方法,一元线性回归模型多元线性回归模型 非线性回归模型的建立方法,一、一元线性回归模型,定义：假设有两个地理要素（变量）x和y，x为自变量，y为因变量。则一元线性回归模型的基本结构形式为式中：a和b为待定参数；为各组观测数据的下标；为随机变量。记 和 分别为参数a与b的拟合值，则（）式代表x与y之间相关关系的拟合直线，称为回归直线；是y 的估计值，亦称回归值。,（）,（）,参数a与b的最小二乘拟合原则要求yi与 的误差ei的平方和达到最小，即 根据取极值的必要条件，有 解上述正规方程组（）式，得到参数a与b的拟合值：,（）,参数a、b的最小二乘估计,（）,（）,（）,显著性检验
2、 方法：F检验法。总的离差平方和：在回归分析中，表示y的n次观测值之间的差异，记为 可以证明（）式中，Q称为误差平方和，或剩余平方和，而 称为回归平方和。,（）,（）,统计量F F越大，模型的效果越佳。统计量FF（1，n-2）。在显著水平下，若FF，则认为回归方程效果在此水平下显著。一般地，当FF0.10(1,n-2)时，则认为方程效果不明显。,（）,二、多元回归模型,回归模型的建立 多元线性回归模型的结构形式：回归方程:在（）式中，b0为常数，b1,b2,bk称为偏回归系数。偏回归系数的意义是，当其它自变量都固定时，自变量每变化一个单位而使因变量平均改变的数值。,（）,（）,偏回归系数的推导
3、过程:根据最小二乘法原理，的估计值 应该使 由求极值的必要条件得 方程组（）式经展开整理后得,（）,（）,方程组（）式称为正规方程组。引入矩阵：,（5.2.15),则正规方程组（）式可以进一步写成矩阵形式,求解得：引入记号：,（）,正规方程组也可以写成：,（）,回归模型的显著性检验,回归平方和U与剩余平方和Q：回归平方和:剩余平方和为：F统计量为：计算出来F之后，可以查F分布表对模型进行显著性检验。,三、非线性回归模型,非线性关系线性化的几种情况:对于指数曲线，令,可以将其转化为直线形式：，其中，；对于对数曲线，令，可以将其转化为直线形式：；对于幂函数曲线，令，可以将其转化为直线形式：其中，；
4、,对于双曲线，令，转化为直线形式：；对于S型曲线，可 转化为直线形式：；对于幂乘积：，只要令，就可以将其转化为线性形式：其中，；,对于对数函数和 只要令，就可以将其化为线性形式：例:下表给出了某地区林地景观斑块面积（Area）与周长（Perimeter）的数据。下面我们建立林地景观斑块面积A与周长P之间的非线性回归模型。,解：（1）作变量替换，令：，将上表中的原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应的观测数据如下表所示。,（2）以x为横坐标、y为纵坐标，在平面直角坐标系中作出散点图。很明显，y与x呈线性关系。,（3）根据所得表中的数据，运用建立线性回归模型的方法，建立y与x之间的线性回归模型，得到：对应于（）式，x与y的相关系数高 达=0.9665。（4）将（）还原成双对数曲线，即,（）,（）,
