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1、,第三节,3.1 第二型曲面积分的概念与性质,3.3 第二型曲面积分的计算法,3.2 两类曲面积分的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二型曲面积分,第五章,3.1 第二型曲面积分概念与性质,1.曲面的侧,双侧曲面：有上、下侧，前、后侧，左、右侧之分。,单侧曲面：无上下侧，前后侧，左右侧之分。也无内侧和外侧之分。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在光滑曲面 上任取一点 M，曲面在点 M 处的法线,有两个方向：当取定其中一个方向为正方向时，则,另一个就是负方向。例如,封闭曲面：内侧和外侧之分。,单侧曲面,莫比乌斯带,封闭曲面,(单侧曲面的典型),机动 目录 上页 下页 返回 结束,分
2、内侧和外侧,双侧曲面,曲面分上侧和下侧,曲面分左侧和右侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面分前侧和后侧,其方向用法向量指向表示:,方向余弦,0 为前侧,封闭曲面,0 为右侧,0 为上侧,外侧,侧向的规定,设单位法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,0 为后侧,0 为左侧,0 为下侧,内侧,指定了侧向的曲面叫有向曲面。,引例 设不可压缩流体（假设密度为1）在空间中稳定,求单位时间流过光滑曲面 的流量.,若 是指定了侧向平面，面积为S,则流量,平面的法向量:,流速为常向量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.流体流向曲面一侧的流量问题,流动，流速为,从给定曲面的一侧流向另一侧，
3、P,Q,R是连续函数，,流量等于斜柱体体积，等于直柱体体积,则用“分割,替代,求和,取极限”方法。,把曲面分割成n个有向小曲面，小曲,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若流速为向量值函数:,面分别记为,当为指定了侧向曲面时,每个小曲面的面积记为,（近似看做小平面）,当 很小时，任取一点,以速度,代替 上各点的速度，流体流过 的流量近似等于：,流量,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,从而单位时间内流过曲面 指定一侧的流量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即 单位时间内流过曲面 指定一侧的流量,设 为有向曲面,有向小曲面,在 oxy 面，oyz 面，ozx 面上的带有符号的投影分别,则
4、规定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义为,其绝对值定义为,面，ozx 面投影域的面积。,则 其投影的符号分别与,符号相同。,在 oxy 面，oyz,可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,流量又可表示为,于是定义二型曲面积分：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,面积记为,任取一点,设,2.定义.,侧向的有向光滑曲面 上的有界函数，,是取定了,n个有向小曲面,把曲面分割成,带有符号的投影面积分别为,在 oyz 面，ozx 面，oxy 面上的,怎样选取，极限,如果无论对怎样,分割，也无论点,总是存在且相等，则称此极限值为向量值函数,其中P,Q,R 叫做被积函数;,叫做积分曲面.,又称为
5、第二类曲面积分.,在有向曲面上的第二型曲面积分，记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为Q 在有向曲面上对 z,x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面上对 x,y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面上对 y,z 的曲面积分;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)若,则,(2)用 表示 与曲面的侧向相反的侧向的曲面，则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.性质,引例中,流过有向曲面 的流体的流量为,若记 正向的单位法向量,则第二型曲面积分也常写成如下形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,和向量值函数为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即 两类曲面积分的关系是：,其中,机动
6、 目录 上页 下页 返回 结束,3.2 第二型曲面积分的计算,（1）计算,为上侧时,取“+”，为下侧时,取“”，,曲面 上的连续函数,1.分面投影法,函数R(x,y,z)是光滑,则,证:由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法向量,当 取上侧时,当 取下侧时,取“+”，,取“”。,若,则有,若,则有,(前侧取正，后侧取负),(右侧取正，左侧正负),同理:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果 垂直于oxy 平面，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果 垂直于坐标面 oyz 面,如果 垂直于 ozx 面,其中 是正方体,整个表面的外侧.,解:,注意到,都垂直于oyz平面,与 x 轴的
7、夹角都是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.计算,解:把 分为,分析:需要向 xy 投影，,其中 为球面,取下侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算曲面积分,取上侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,是,介于平面 z=0,及 z=h 之间部分的外侧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.计算曲面积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.合一投影法,曲面,投影域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为上侧时,取“+”，为下侧时,取“”，,机动 目录 上页
8、下页 返回 结束,类似地,曲面,投影域,为前侧时,取“+”，为后侧时,取“”，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似地,曲面,投影域,为右侧时,取“+”，为左侧时,取“”，,其中,解:用合一投影法,旋转抛物面,介于平面 z=0,及 z=2 之间部分的下侧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.计算曲面积分,下侧.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.设,上侧。,计算,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,定义:,1.两类曲面积分及其联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾?,两类曲线积分的定义一个与
9、的方向无关,一个与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量,代入曲面方程(方程不同时分片积分),(2)积分元素投影,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(4)确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中 是,整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.计算,例5.设,上侧。,计算,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
