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1、5.2 基本积分法,一、第一类换元法（凑微分法）,二、第二类换元法（变量代换法）,三、分部积分法,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法（凑微分法）,在一般情况下：,由此可得换元法定理,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,例2 求,解,一般地,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,原式,例10 求,解,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例12 求,解,例13
2、求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,解（二）,类似地可推出,解（三）,类似地可推出,解,例14 设 求.,令,例15 求,解,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法（变量代换法）,证,设 为 的原函数,令,则,第二类积分换元公式,例16 求,解,令,例17 求,解,令,例18 求,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代
3、换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),（三角代换很繁琐）,令,解,例20 求,解,令,说明(4),当分母的阶较高时,可采用倒代换,令,解,例22 求,解,令,（分母的阶较高）,例23 求,解,令,基本积分表(补充),小 结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),思考题,求积分,思考题解答,练 习 题,练习题答案,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,三、分部积分法,例1 求积分,解（一）,令,显然，选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数
4、是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3 求积分,解,令,例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.,以下不同类型函数乘积的积分可用分部积分求出：,例5 求积分,解,典型技巧：,1.还原法,例6 求积分,解,注意循环形式,有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解此方程求出积分。,例5 求,解,2.递推公式:,例7 求积分,解,3.多种积分方法结合使用,令,解,两边同时对 求导,得,合理选择，正确使用分部积分公式,小结,思考题,在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,练 习 题,练习题答案,
