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1、复数的概念,i-虚单位满足：i2=-1,虚部,实部,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,.,设：z1=x1+iy1 z2=x2+iy2,复数不能比较大小!,2、复平面,复数的向量表示法,复数 与 平面向量（a,b）或 点 Z（a,b）一一对应,复数的几何意义,每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应,复数的加法与减法,设Z1=a+bi，Z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的和：,（a
2、+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,点评(1)复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致,(2)很明显，两个复数的和仍 然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。,1、复数的加法法则：,练习：计算(1)(i)+(-3+7i)=(2)-4+(-2+6i)+(-1-0.9i)=(3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，则有（）A.a-c=0且b-d0 B.a-c=0且b+d0 C.a+c=0且b-d0 D.a+c=0且b+d0,证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b
3、2，b3R),则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i,显然 Z1+Z2=Z2+Z1,同理可得(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3),点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。,运算律,探究?,复数的加法满足交换律，结合律吗？,y,设 及 分别与复数 及复数 对应，则,探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？,复数的加法可按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义,思考？,复数是否有减法？,两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减。,设Z1=
4、a+bi，Z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的差：,学 以 致 用,讲解例题,例1 计算,解：,类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？,设 及 分别与复数 及复数 对应，则,复数减法的几何意义：,结论:,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,例：设z1=x+2i,z2=3-yi(x,yR),且z1+z2=5-6i,求z1-z2,解：z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i,(3+x)+(2-y)i=5-6i,z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i,三、课堂练习,1、计算：（1）(3 4i)+(2+i)(1 5i)=_（
5、2）(3 2i)(2+i)(_)=1+6i,2、已知xR，y为纯虚数，且（2x 1)+i=y(3 y)i 则x=_ y=_,2+2i,9i,4i,分析：依题意设y=ai（aR），则原式变为：（2x 1)+i=(a 3)i+ai2=a+(a 3)i,3、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z1，Z2，且满足Z1+i=Z2 2，求Z1和Z2。,分析：依题意设Z1=x+yi（x，yR）则Z2=x yi，由Z1+i=Z2 2得：x+(y+1)i=(x 2)+(y)i，由复数相等可求得x=1，y=1/2,复数的乘法法则：,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc
6、+ad)i,显然任意两个复数的积仍是一个复数.,对于任意z1,z2,z3 C,有,z1z2=z2z1,z1z2 z3=z1(z2 z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,例 1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i),解：(1-2i)(3+4i)(-2+i),对于任意复数z=a+bi,有,（a+bi)(a-bi)=a2+b2,=（11-2i)(-2+i),=-20+15i.,例 2 计算,解,二、复数除法的法则,复数的除法是乘法的逆运算，满足,(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di0)的复数 x+yi,叫做复数a+bi除以复数c+di的商，,例3 计算:,（1）（1+2i
7、)(3-4i),(2)(3+2i)(2-3i),=i,共轭复数:,一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不为0的共轭复数也叫共轭虚数.,思考:,若 是共轭复数,那么在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?是一个怎样的数?,关于共轭复数的运算性质,z1，z2 C,则,在乘除法运算中关于复数模的性质,已知 z1，z2 C,求证：,|z1 z2|=|z1|z2|，,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d)，则,|z1z2|=|(ac-bd)+(bc+ad)i|,=|z1|z2|,证明：,i的乘方规律,从而对任意，,两个特殊复数的乘方,1.计算,2.设,计算：,小结：,例5 计算,解：,例6 求复数，使 为实数，且.,解：设,将 代入,得,得,将 b=0代入得 a=4 或 a=0,Z=4 或 Z=0(舍),例3,解,例4,解,
