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1、G.F.B.Riemann(1826-1866),只有在微积分发明之后，物理学才成为一门科学.只有在认识到自然现象是连续的之后，构造抽象模型的努力 才取得了成功。-黎曼,多元函数积分学,定积分(Definite Integral),二重积分(Double Integral),三重积分(Triple Integral),性质,直角坐标,极坐标,曲线坐标,直角坐标,柱面坐标,球面坐标,曲面坐标,应用,二重积分的换元法(Change of Variable in Double Integral),三重积分的换元法(Change of Variable in Triple Integral),容易验证
2、，,柱坐标(Cylindrical Coordinate)变换的Jacobi行列式为,球坐标(Spherical Coordinate)变换的Jacobi行列式为,广义球坐标变换的Jacobi行列式为,其中,二重积分的对称性,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标轴的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于二个 积分变量的奇偶性.,三重积分的对称性,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个 坐标轴(三个变量)的奇偶性.,二重积分与曲线积分的联系（Green公式）,三重积分与曲面积分的联系(Gauss公式),曲面积分与曲线积分的联系(Stokes公式
3、）,空间曲线积分与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,一.计算题,重积分计算的关键:,1.选择合适的坐标系,2.确定合适的积分次序以及积分限,（综合考虑积分区域和被积函数）,例 1,计算:,解,考虑用极坐标变换先弄清直角坐标系下的积分区域 D，,由此,可以画出直角系下的积分区域的图形，,例2,例3,解,由对称性,例4 计算,解 曲面坐标变换的目的,(1)使积分区域变 得尽量简单,(2)简化被积函数及计算。,引入坐标变换：,例5 设心脏线的方程为,求它与极轴围成的平面,图形绕极轴所得旋转体的体积。,解,若视极轴为 z 轴，则,极坐标 恰好是球坐标,的,于是体积,例6,解,由对称性,例7,解,
4、于是,例8,解,二.证明题,例1,证明:采用极坐标,将式中r的换成x,即得证.,由对称性知,例2,证,证明：,由积分区域D关于y=x对称，所以,从而,例3,例4,解：,例4,例5,例 6,分析：,则本题得证.,例7,证明,例 8,证,由积分中值定理有,例 9,证,由积分中值定理有,例10,证,例11,证,由题设条件可得,故有,（分部积分）,（分部积分）,由分部积分法得,故,证,证,解,（2）,由（1）知,设u在闭曲线L:,所围闭区域D上有连续二阶偏导数,且,求,.其中,为u沿D边界外法线的方向导数.,例16,解：设曲线L上任意一点,处的切向量为,法向量为,，注意到,，于是,再由Green 公式有,.,
