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1、9 多属性决策,9.7 确定权的常用方法(AHP法)9.8 权的灵敏度分析9.9 TOPSIS法9.10 基于估计相对位置的方案排队法9.11 ELECTRE法9.12 PROMETHEE法9.13 关于多属性决策方法的若干问题讨论,9.7 确定权的常用方法,1)最小二乘法2)本征向量法3)层次分析法(AHP),1)最小二乘法,目标重要性判断矩阵A中元素的取值,1)最小二乘法,1)最小二乘法,2)本征向量法,一致性检验,3)层次分析法(AHP),第四步 方案排序,Saaty求最大本征值的近似算法,例1:买车(AHP法确定权),步骤1:构造矩阵A,步骤2:求权重,(1)A中每行元素连乘并开n次方
2、:,(2)wi*规范化:,步骤2:求权重,规范化:w1*+w2*+w3*=4.39 w1=w1*/4.39=2.62/4.39=0.6 w2=w2*/4.39=1.52/4.39=0.35 w3=w3*/4.39=0.25/4.39=0.05,步骤3:一致性检验,(1)A中每列元素求和:,(2)计算max 的值,(3)与临界值 max 比较:,步骤3:一致性检验,S1=1+1/2+1/9=1.61,S2=2+1+1/7=3.14,S3=9+7+1=17,W1=0.6,W2=0.35,W3=0.05,max=0.61.61+0.35 3.14+0.05 17=2.9150 3.116,步骤4:方
3、案排序,步骤4:方案排序(属性值0-1处理),方案排序：x2 x3 x4 x1,例2:层次分析法,例9.3 设某高校拟从三个候选人中选一人担任中层领导，候选人的优劣用六个属性去衡量，这六个属性是健康状况业务知识书面表达能力口才道德水平和工作作风。关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵A为：,权重的本征向量,属性值的AHP法,三个候选人分别记作X、Y、Z；设在各属性下比较的结果（称为比较矩阵）如下。,属性的最大本征值,属性值的调整,调整前,调整后,结果,9.8 权的灵敏度分析,灵敏度分析的目的：权在多大范围内变动会影响决策结果。例子：买车。为了简化分析，我们做了如下假设：w1=w2
4、，有：w1+w2+w3=1，则：w1+w2=1-w3，其中w30,1；由于w1=w2，则：w1=w2=(1-w3)/2。,综合评价值,权的灵敏度分析结果,C1,C2,C3,C4,9.9 TOPSIS法,TOPSIS是逼近理想解的排序方法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）的英文缩略。它借助多属性问题的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序。,2TOPSIS法的算法步骤,2TOPSIS法的算法步骤,2TOPSIS法的算法步骤,2TOPSIS法的算法步骤,例1:用TOPSIS法解”买车”问题,效益指标,成本
5、指标,成本指标,步骤1:规范化,步骤2:加权规范阵,步骤3:理想解与负理想解,x*=0.1485,0.0981,0.0346x0=0.3959,0.2451,0.0104,步骤4:距离计算与排序,方案排序:x2x3x4x1,例2:用TOPSIS法解例9.2,设决策人设定的各属性权重分别为(0.2,0.3,0.4,0.1),效益指标,效益指标,成本指标,区间指标,步骤1:数据预处理,步骤1:规范化,步骤2:加权规范阵,步骤3:理想解与负理想解,x*=0.1939,0.2000,0.2782,0.0165x0=0.0069,0.0000,0.0158,0.0648,步骤4:距离计算与排序,方案排序
6、:x1x2x4x5x3,9.10 基于估计相对位置的方案排队法,前面几节介绍的求解多属性决策问题的方法，包括加权和法，字典序法，加权积法和逼近理想点的排队法(TOPSIS法)，以及后面要介绍的ELECTRE法等等，都需要有较多的初始信息，需要在事先给出决策矩阵，即需要给出每个备选方案的各属性的数值。但在很多实际问题中，总有一些属性无法或很难量化，这时就给不出决策矩阵，决策人只能给出每个目标下各方案的优劣次序。例如，选择干部问题，要给出每个候选人的德、才、体的属性值是令人伤脑筋的事，但要决策人按照德、才、体这几个方面分别排出候选人的优劣次序却并不困难。对这种可以给出序数信息，但给不出基数信息的问
7、题，应当有适当的方法求解。Navarrete,1979提出的基于估计相对位置的方案排队法是求解这类问题的一种较好的方法。,1.方案优先关系的表述,首先根据各方案对在各目标下的优先次序（即序数信息）及各目标的权重进行排序。各方案间的优先关系可以用语言说明，也可以用第三章介绍和等符号描述。但是它们都不如指向图直观，也不如0-1矩阵便于运算。,指向图,指向图用小圆表示方案，称为节点；有向弧表示优先关系，箭头从表示优方案的节点出发指向代表劣方案的节点。例如，若xixk，则有向弧从节点xi出发，指向节点xk；若xixk，则在xi和xk之间画两条有向弧，一条从从xi指向xk，另一条从从xk指向xi；若方案
8、xi与xk不可比，则节点xk和xi之间不画有向弧。,图9.6所示为某个方案集中各方案的指向图。其中方案x1优于方案x2和x3，方案x1与方案x4无差异，方案x1和方案x5不可比。,(2)表示优先关系的0-1矩阵,优先关系还可以用0-1矩阵（或称优先关系表）P=pikmm来表示。与图9.6对应的优先关系表如表9.15所示。其中，若xixk，则pik1，pki0；若xi xk，则pikpki1；若xi与xk不可比，则pikpki0。,(2)表示优先关系的0-1矩阵,利用指向图或优先关系表可以方便地确定方案集X中各方案的排序。对指向图，可以设从xi发出的有向弧为ri条，指向xi的有向弧有qi条，则排
9、队指示值:viriqi vi的值越大，方案xi越优，根据vi的大小可以排定方案集中各方案的优劣。对0-1矩阵，xi所在行中元素为1的个数（不包括对角线上的元素）记为ri，元素为0的个数记为qi，仍用上式计算排队指示值。,2基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤,第一步 由决策人设定各目标或属性j的权wj，j1,2,n，且使。第二步 对每一目标或属性j，进行方案的成对比较,给出优先关系矩阵或指向图。xi的第j个属性值优于xk的第j个属性值记作(xixk)j，xk的第j个属性值优于xi的第j个属性值记作(xixk)j，xi与xk的第j个属性值无差异或不可比记作(xi xk)j。,2基于估计相对位置
10、的方案排队法的求解步骤,3.第三步 确定各方案对(xi，xk)的总体优先关系 计算方案对(xi，xk)的总体优、劣的权重 把(xixk)j的各目标j的权相加，记作w(xixk)，即:w(xixk)类似地，把xixk的各目标的权相加，记作w(xi xk)，把xixk的各目标的权相加，记作w(xixk)。,2基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤,计算方案对(xi，xk)的总体优劣指示值A(xi，xk)A(xi，xk)式中，10，值的大小反映xi与xk无差异的目标在决策过程中的重要性。,2基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤,选定阀值A1，判定方案总体优劣 若 A(xi，xk)A 则xixk 若
11、 A(xi，xk)1/A 则xixk 若 1/AA(xi，xk)A 则xi xk 根据上面判定的方案总体优劣，画出方案集X中各方案的总体优劣指向图或优先关系表。,2基于估计相对位置的方案排队法的求解步骤,4.第四步 计算方案xi的总体优劣的排队指标值 根据方案集X中各方案的总体优劣指向图或优先关系表，可以计算方案xi的总体优劣的排队指标值 i1,2,m 5.第五步 按vi的大小排定方案集X中各方案xi(i=1,2,m）的优劣次序。,例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2,例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2,例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2,例:用基于估计相对位置的方
12、案排序法解例9.2,例:用基于估计相对位置的方案排序法解例9.2,评 注,基于估计相对位置的方案排队法采用序数信息判断方案间的优劣，它所要求的信息较少，这是一大优点；与此同时，因为没有决策矩阵中的基数信息，所以不能反映方案集X中各方案在各自标下的优先程度，评价可靠性欠佳，这又是该方法的缺点。所以凡是属性值均能定量表示，能给出决策矩阵的，不宜采用这种方法。基于估计相对位置的方案排序法的评价结果也是平局太多。在方案数较小时，方案之间出现平局的可能性较大。,9.11 ELECTRE法,9.11.1 级别高于关系的定义与性质9.11.2 ELECTRE-I法9.11.3 ELECTRE-II法9.11
13、.4 其他ELECTRE法9.11.5 讨论,9.11.1 级别高于关系的定义与性质,这种方法是法国人Roy(1971)首先提出的，它所构建的是一种较弱的次序关系，叫级别高于关系(Outranking Relation)。,定义9.1 级别高于关系 给定方案集X，xi，xkX，给定决策人的偏好次序和属性矩阵yij，当人们有理由相信xixk，则称xi的级别高于xk，记作xiOxk。需要注意的是，级别高于关系是建立在决策人愿望承担因承认xixk所产生的风险的基础上的。,9.11.1 级别高于关系的定义与性质,定义9.2 级别无差异 给定方案集X，xi，xkX，当且仅当X中存在u1,u2,ur；v1
14、,v2,vs；r1，s1，使xiOxk（或者xiOu1，u1Ou2，urOxk）且xkOxi（或者xkOv1，v1Ov2，vsOxi），则称xi与xk级别无差异，记作xiIrxk。,9.11.1 级别高于关系的定义与性质,级别高于关系的性质 1)弱传递性，即:xiOx0且y(x0)y(xk)xiOxk 或者:y(xi)y(x0)且x0Oxk xiOxk 2)自反性。显然，xOx和xIr x均成立。3)Ir是对称的。4)允许不可比。上面所定义的级别高于关系不要求连通性，它允许X中的方案对不可比。,9.11.2 ELECTRE-法,ELECTRE-法求解多属性决策主要问题包括两个部分，一是构造级别
15、高于关系，二是利用所构造的级别高于关系对方案集中的方案进行排序。下面分别介绍。1.级别高于关系的构造 级别高于关系的构造以决策矩阵Yyij为基础，决策矩阵不作规范化。对于X中的每对方案xi与xk，为了判定是否存在级别高于关系O，需要进行和谐性检验(concordance test)和非不和谐性检验(non-discordance test)。,ELECTRE-法步骤,9.11.2 ELECTRE-法,9.11.2 ELECTRE-法,9.11.2 ELECTRE-法,9.11.2 ELECTRE-法,9.11.2 ELECTRE-法,9.12 PROMETHEE法,9.12.1 优先函数9.1
16、2.2 几种典型的优先函数9.12.3 赋值的级别高于关系图9.12.4 PROMETHEE-I法9.12.5 PROMETHEE-II法9.12.6 示例：研究生院综合评估9.12.7 PROMETHEE法的特点,9.12.1 优先函数,9.12.1 优先函数,9.12.2 几种典型的优先函数,1.常用准则(Usual Criterion),2.拟准则(Quasi-Criterion),3.具有线性优先关系的准则(Criterion with linear preference),4.分级准则(Level-criterion),5.具有无差异区间的线性优先关系准则(Criterion wit
17、h linear preference and indifference area),6.高斯准则(Gaussian criterion),优先指数的计算,PROMETHEE法,PROMETHEE法,PROMETHEE法,9.13 关于多属性决策方法的若干问题讨论,在对方案集X中备选方案的数据预处理方法的不同，将有可能影响方案排序的结果。在对方案集X中的备选方案排序过程中，为了使评价结果更可靠，可以根据问题的特点，在本章前面介绍的简单加权和法、层次分析法(AHP)、加权积法、TOPSIS法、ELECTRE法、基于估计相对位置的方案排队法、PROMETHEE等方法中同时选用几种适当的多属性决策方法求解，获得几种可能相同也可能不同。,9.13 关于多属性决策方法的若干问题讨论,如果上一步所获得的方案集X中各备选方案的几种排序相同，则问题求解到此为止。更一般的情况是不同方法的求解结果会有差别，这时需要对产生差别的原因进行分析，排除数据预处理不当和方法选用不当等情况。,作业6:,P245:二、1试用加权和法求解例 9.1，讨论权重的选择对决策的影响。2设w1=2w2，用TOPSIS法求解例9.1。,
