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1、,6.2 向量及其线性运算,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,或,或,或,一、向量的概念,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,平行：如果两个向量所在的线段平行，则称两向量平行,1 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,二、向量的加减法,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,三、数与向量的乘法,数与向量的乘积符合下列运算
2、规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,证,充分性显然；,例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,四、向量的投影,空间一点在轴上的投影,空间一向量在轴上的投影,注：投影的结果是一个数量值，可正可负。,关于向量的投影定理（1）,证,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4)相等向
3、量在同一轴上投影相等；,关于向量的投影定理（2）,（可推广到有限多个）,五、向量的坐标表示,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,按基本单位向量的坐标分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标：,向量的坐标表达式：,特殊地：,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,解,由题意知：,非零向量 的方向角：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,三、向量的方向角与方向余弦,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量模长的坐标表示式,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,解,所求向量有两个，一
4、个与 同向，一个反向,或,空间直角坐标系,空间两点间距离公式,（注意它与平面直角坐标系的区别）,（轴、面、卦限）,小结,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,向量在轴上的投影与投影定理.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量的模与方向余弦的坐标表示式.,（注意分向量与向量的坐标的区别）,思考题,已知平行四边形ABCD的对角线,试用 表示平行四边形四边上对应的向量.,思考题解答,思考题,思考题解答,对角线的长为,在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支；在方法上，它们也基本是互不相关的。解析几何的建立，不仅由于在内容上
5、引入了变量的研究而开创了变量数学，而且在方法上也使几何方法与代数方法结合起来。1637年，笛卡儿发表了方法论及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录几何学中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。在平面和立体轨迹导论中，费尔马解析地定义了许多新的曲线。在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何(analytical geometry)”的名称是以后才定下来的。,阅读材料 analytical geometry,这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐
6、标这几个术语，是莱布尼兹于1692年提出的。1733年，年仅18岁的克雷洛出版了关于双重曲率曲线的研究一书，这是最早的一部空间解析几何著作。1748年，欧拉写的无穷分析概要，可以说是符合现代意义的第一部解析几何学教程。1788年，拉格朗日开始研究有向线段的理论。1844年，格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维解析几何出现了。解析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。普通解析几何只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切的联系。1619年，笛卡尔在多瑙河的诺伊堡军营里，终日沉迷在数学的思考之中：“几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组数联系起来，突然，他看见屋顶上一只蜘蛛拉着丝垂下来了，一会儿，蜘蛛 又顺着丝爬上去，在上面左右拉丝。蜘蛛的表演使笛卡尔的思路豁然开朗，于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。,阅读材料 analytical geometry,作业,第3页：2,6第9页：3,7,8,9,10,11,13,14,
