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1、1.2 n 阶行列式,特殊行列式的值,排列与对换,n阶行列式的定义,排列,n 阶行列式,25431 是一个5级排列。,例如，,3421 是4级排列；,例1写出所有的3级排列。,解：所有的3级排列为：,321。,312，,231，,213，,132，,123，,排列：,由自然数1，2，n组成的有序数组 i1 i2 in 称为一个n级排列。,逆序数,定义1.1 在 n 级排列 i1 is it in中，如果 is it，则称 is与 it构成一个逆序。排列中逆序总数称为逆序数，记为 N(i1 i2 in)。,逆序与逆序数：,排列：,例如，,N(1234)=0，,N(52341)=7。,3 4 2
2、1,确定逆序数的方法：,N(3421)=5。,由自然数1，2，n组成的有序数组 i1 i2 in 称为一个n级排列。,n 阶行列式,奇偶排列,逆序数是奇数的排列，称为奇排列。逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列。,奇排列与偶排列：,3421是奇排列，,1234是偶排列，,35421是偶排列。,定义1.1 在 n 级排列 i1 is it in中，如果 is it，则称 is与 it构成一个逆序。排列中逆序总数称为逆序数。,逆序与逆序数：,排列：,由自然数1，2，n组成的有序数组 i1 i2 in 称为一个n级排列。,n 阶行列式,对换,对换：,例如，,得到排列24351。,排列 21354 经对
3、换(1,4)，,提问：排列 21354 经对换(1,4)，得到的排列是 24351，排列的奇偶性有无变化？,提示：,N(21354)=2，,N(24351)=5，,奇偶性发生了变化。,在一个排列i1isitin中，将两个数码 is与it对调，就得到另一个排列 i1 it is in，这样的变换称为一个对换，记为对换(is,it)。,定理1。1,定理1.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。,对换：,显然对换相邻的两个数码奇偶性改变。,在一个排列i1isitin中，将两个数码 is与it对调，就得到另一个排列 i1 it is in，这样的变换称为一个对换，记为对换(is,it)。,设排列
4、i k1k2ks j 经对换(i,j)变为 j k1k2ks i。这个变换可以按如下方法完成：j 与前面 s+1个数码逐个对换，然后 i 与后面 s 个数码逐个对换。这里总共进行了2s+1次相邻对换，因为相邻对换次数为奇数，所以所得到的排列与原排列的奇偶性不同。,证明：,定理1。2,定理1.2 n个数码(n1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。,对换：,(1)n级排列的总数为n(n-1)21=n!。,(2)有排列 i1 is it in，,必有排列i1 it is in，,两者的奇偶性不同，,所以奇偶排列数相等，各占一半。,定理1.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。,在一个排列
5、i1isitin中，将两个数码 is与it对调，就得到另一个排列 i1 it is in，这样的变换称为一个对换，记为对换(is,it)。,证明：,行列式定义,n 阶行列式的定义：,定义1.2 用 n2个元素aij(i,j=1,2,n)组成的记号,称为n阶行列式，,它表示代数和,其中和式中的排列 j1 j2 jn要取遍所有n级排列。,元素ai j,列标,行标,特点,n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号的项各占一半。,行列式有时简记为|a ij|。一阶行列式|a|就是a。,举例,a14a23a31a42,a14a23a31a42,例如，四阶行列式,(-1)N(4312)a14a23a3
6、1a42为行列式中的一项。,表示的代数和中有4!=24项。,a14a23a31a42取自不同行不同列，,的列标排列,为奇排列4312，,所以它不是行列式中的一项。,有两个取自第四列的元素，,a14a23a31a44,例2,解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，,D=(-1)N(1 2 n)a11a22a33 ann,第一行只能取a11，,第三行只能取a33，,第二行只能取a22，,第 n 行只能取ann。,，,这样不为零的乘积项只有,a11a22a33 ann，,所以,=a11a22a33 ann。,练习及解,练习：1.求下列排列的逆序数：,(1)41253；(2)3712456。,解：
7、,(1)N(4 1 2 5 3),(2)N(3 7 1 2 4 5 6),=4。,=7。,2.在 6 阶行列式|aij|中，元素乘积a15a23a32a44a51a66前应取什么符号？,解：,因为(-1)N(532416),所以在a15a23a32a44a51a66之前取“+”号。,=(-1)8=1，,几个结论,下三角形行列式的值：,上三角形行列式的值：,对角形行列式的值：,结论：,定理1。3,定理1.3 n阶行列式D=|ai j|的一般项可以记为,其中i1 i2 in与j1 j2 jn均为n级排列。,我们可以把乘积项中的任意两个元素进行对换，对换后乘积项的行标排列的奇偶性和列标排列的奇偶都发
8、生变化，所以对换前后行标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变。,简要证明：,，,定理证明,定理1.3 n阶行列式D=|ai j|的一般项可以记为,若经若干次对换将,这就是行列式的一般项。,则,，,，,其中i1 i2 in与j1 j2 jn均为n级排列。,简要证明：,例3,解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为0，,第二列只能取a32，,所以,=(-1)N(2413)+N(1342)a21a43a14a32,=(-1)3+21111=-1。,第三列只能取a43，,第四列只能取a14，,第一列只能取a21，,练习及解,练习：1.在6阶行列式|aij|中，元素乘积a21a53a16a42a65a34前应取什么符号？,解：,在a21a53a16a42a65a34之前取“-”号。,因为(-1)N(251463)+N(136254),=(-1)6+5=-1，,2.根据定义计算行列式。,=(-1)N(3241)a13a22a34a41,解：,=(-1)411111=1。,作业,10题提示,作 业,习题一(P38页):,7,8,9作为练习(在书上做),10,11题做在作业本上,提示:,于是,按行列式的定义,行列式的值为零.,线性代数课件,课件研制与制作：沈家云,2003年1月,
