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1、2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,第六章 线性空间,6.7 子空间的直和,6.7 子空间的直和,一、直和的定义,二、直和的判定,三、多个子空间的直和,6.7 子空间的直和,引入,有两种情形：,此时,即，必含非零向量.,6.7 子空间的直和,情形2）是子空间的和的一种特殊情况,此时,不含非零向量，即,6.7 子空间的直和,一、直和的定义,设 为线性空间V的两个子空间，若和,是唯一的，和就称为直和（direct sum），,注意,若有,则,1.分解式 唯一的，意即,中每个向
2、量的分解式,记作,6.7 子空间的直和,2.分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.,例如，R3的子空间,这里，,在和中，向量的分解式不唯一.,所以和 不是直和，,而在和中，向量 的分解式是唯一的，,是直和.,6.7 子空间的直和,二、直和的判定,分解式唯一，,1、(定理8)和是直和的充要条件是零向量,，则必有,证：必要性.,是直和,而0有分解式,即若,6.7 子空间的直和,充分性.,故 是直和.,有,其中,于是,由零向量分解成唯一，,即,的分解式唯一.,6.7 子空间的直和,2、和是直和,则有,证：“”,若,6.7 子空间的直和,“”,由于是直和，零向量分解式唯一，,故,任取,6.7
3、子空间的直和,证：由维数公式,3、和是直和,有，,6.7 子空间的直和,总之，设为线性空间V的子空间，,则下面四个条件等价:,（2）零向量分解式唯一,（1）是直和,（3）,（4）,6.7 子空间的直和,4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间，,为U的一个余子空间（complementary subspace）.,则必存在一个子空间W，使 称这样的W,证：取U的一组基,把它扩充为V的一组基,则,6.7 子空间的直和,余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).,注意,如，在R3中，设,6.7 子空间的直和,5、设 分别是线性子空间,的一组基，则,证：,由题设，,6.7 子空间的直和,若
4、线性无关，,则它是 的一组基.,从而有,“”,是直和.,6.7 子空间的直和,若 直和，则,从而的秩为rs.,所以线性无关.,“”,6.7 子空间的直和,1、定义,中每个向量的分解式,都是线性空间V的子空间，若和,是唯一的，则和就称为直和，记作,6.7 子空间的直和,四个条件等价:,（2）零向量分解式唯一，即,（3）,（4）,2、判定,设都是线性空间V的子空间，则下面,（1）是直和,6.7 子空间的直和,例1 每一个n维线性空间都可以表示成n个一维,子空间的直和.,证：设是n维线性空间V的一组基,则,而,6.7 子空间的直和,例2,已知，设,（2）当 时，,证明：,（1）,的子空间.,是,6.7 子空间的直和,证：（1）,是 的子空间.,6.7 子空间的直和,从而有,故 是 的子空间.,6.7 子空间的直和,又,（2）先证,任取,其中,又是 的子空间，,6.7 子空间的直和,任取,从而,所以,再证,
