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1、1,实验二定积分的近似计算,数学实验,2,定积分计算的基本公式是牛顿莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。,本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关函数。,问题背景和实验目的,定积分的近似计算,3,矩形法 梯形法 抛物线法,数值积分的常见算法,主要内容,Matlab 求积分函数,数值积分函数：trapz、quad、dblquad 符号积分函数：int,4,定积分的定义
2、,定积分的近似,5,矩形法,n 充分大，x 充分小,左点法,右点法,中点法,点 可以任意选取，常见的取法有：左端点,右端点 和中点。,定积分的近似：,6,步长,节点,矩形法,fuluA.m,7,矩形法举例,例：用不同的矩形法计算下面的定积分(取 n=100)，并比较这三种方法的相对误差。,8,理论值：,左点法相对误差：,相对误差分析,矩形法举例,右点法相对误差：,中点法相对误差：,不同的算法有不同的计算精度,有没有更好的近似计算定积分的方法?,9,定积分几何意义,10,曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似,整个曲边梯形的面积：,梯形法,11,如果我们 n 等分区间 a,b，即令：,则,
3、=,梯形公式,梯形法,梯形公式与中点公式有什么区别?,fuluB.m,12,解：,=,例：用梯形法计算下面定积分(取 n=100)，并计算相对误差,梯形法举例,a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2),相对误差：,13,2n 等分区间 a,b，得,用抛物线代替该直线，计算精度是否会更好？,计算每个节点上的函数值：,抛物线法,在区间 x0,x2 上，用过以下三点,的抛物线来近似原函数 f(x)。,14,设过以上三点的抛物线方程为：,则在区间 x0,x2 上，有,y=x2+x+=p1(x),抛物线法,15,同理可得：,相加即得：,抛物线法,16,整理后可得：,或,辛卜生(Simpso
4、n)公式,抛物线法公式,抛物线法,fuluC.m,17,=,例：用抛物线法计算下面定积分(取 n=100)，并计算相对误差,解：,a=0,b=1,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2),抛物线法,相对误差：,18,矩形法 梯形法 抛物线法,数值积分的常见算法,Matlab 函数,Matlab 求积分函数,数值积分函数：trapz、quad、dblquad 符号积分函数：int,19,trapz(x,y)x 为分割点（节点）组成的向量，y 为被积函数在节点上的函数值组成的向量。,trapz,trapz,20,前面的做法,例：用梯形法计算下面定积分(取 n=100),解：,a=0,b=1
5、,n=100,yi=f(xi)=1/(1+xi2),x=0:1/100:1;y=1./(1+x.2);trapz(x,y),trapz函数,trapz(x,1./(1+x.2),trapz 举例,21,quad(f,a,b,tol)f=f(x)为被积函数，a,b 为积分区间，tol 为计算精度,将自变量看成是向量,不用自己分割积分区间 可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是 10-6 精度越高，函数运行的时间越长 此处的函数 f 是数值形式，应该使用数组运算，即：.*./.,quad,quad,22,解：,quad(1./(1+x.2),0,1),quad(1./(1+x.2),0,1,1e-
6、10),quad(1./(1+x.2),0,1,1e-16),函数表达式一定要用 单引号 括起来！涉及的运算一定要用 数组运算！,例：用 quad 计算定积分：,quad 举例,23,dblquad(f,a,b,c,d,tol),tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6 f 可以是：字符串；inline 定义的内联函数；函数句柄 a,b 是 第一积分变量 的积分区间，c,d 是 第二积分变量 的积分区间,按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面,dblquad,抛物线法计算二重积分：dblquad,24,f=inline(4*x*y+3*y2);I=dblquad(f,-1,1,0,
7、2),f 中关于第一自变量的运算是数组运算，即把 x 看成是向量，y 看成是标量。也可以全部采用数组运算,例：计算二重积分,dblquad(inline(4*x*y+3*x2),-1,1,0,2),dblquad(inline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2),X,例：计算二重积分,dblquad 举例,25,例：计算二重积分,dblquad(x,y)4*x*y+3*x.2,-1,1,0,2),指定 x、y 分别是第一和第二积分变量,dblquad(inline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2),被积函数 f(x,y)的另一种定义方法：匿名函数,dblquad 举例,2
8、6,int(f,a,b)计算 f 关于默认自变量 的定积分，积分区间为a,b。,int(f)计算 f 关于默认自变量 的不定积分。,int(f,v,a,b)计算函数 f 关于自变量 v 的定积分，积分区间为 a,b,int(f,v)计算函数 f 关于自变量 v 的不定积分,findsym(f,1),int,符号积分：int,27,例：用 int 函数计算定积分：,解：,syms x;f=1/(1+x2);int(f,x,0,1),f=sym(1/(1+x2);int(f,x,0,1),int(1/(1+x2),x,0,1),或,int(1/(1+x2),0,1),或,或,int 举例,28,d
9、ouble(a)将 a 转化为双精度型，若 a 是字符，则取对应的 ASCII 码,a=3;double(a)double(a),例：,ans=3,ans=97,相关函数,29,x=1:0.001:2;y=exp(x.(-2);trapz(x,y),梯形法：,抛物线法：,quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10),符号积分法：,syms x int(exp(x(-2),x,1,2),例：用 Matlab 函数近似计算定积分,数值实验,30,抛物线法：,dblquad(inline(x+y2),0,2,-1,1),符号积分法：,f=int(x+y2,y,-1,1);int(f,x,0,2),数值实验,例：用 Matlab 函数近似计算二重积分,
