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1、,式中，n称为二阶系统无阻尼自然振荡频率或固有振荡频率；称为二阶系统的阻尼比。,实验一 二阶系统分析（时域分析）,二阶系统传递函数的通用形式,特征方程为：,特征方程的根为：,当01时，系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态；当=0时，系统有一对纯虚根，称为无阻尼状态，系统时间响应为持续的等幅振荡。,二阶系统的响应特性完全由和n两个参数来描述，所以说和n是二阶系统的重要结构参数。,当0时，二阶系统的稳态响应可用拉普拉斯变换中的终值定理获得。在单位阶跃输入作用下，二阶系统的稳态值为,下面分别按欠阻尼、临界阻尼、过阻尼三种不同情况，研究二阶系统在单位阶跃函数作用下的响应。1.欠阻尼情况(01)在二
2、阶系统中，欠阻尼二阶系统比较常见。由于这种系统具有一对实部为负的共扼复根，时间响应是衰减振荡特性，故又称为振荡环节。系统的传递函数为,二阶系统的单位阶跃响应,由于01，特征方程有一对共轭复根,由上式可看出，系统的响应由稳态分量与瞬态分量两部分组成，稳态分量值等于1，也就是说，稳态（即t)时，输入信号（单位阶跃函数）与输出信号c()之间不存在稳态误差。瞬态分量是一个随时间t增长而衰减的振荡过程，振荡频率为d，其值取决于阻尼比及无阻尼自然振荡频率n。如果采用无因次时间nt作横坐标参数，这样，时间响应仅仅为阻尼比的函数，上则式为,如果阻尼比等于零，那么系统的响应变为无阻尼等幅振荡。将=0代入式（4-
3、16），便可得到零阻尼情况下的响应c(t)，即,式中可以看出，n代表系统的无阻尼自然振荡频率。如果阻尼系数减小到零，系统就以频率n振荡。如果线性系统具有一定阻尼，就不可能通过实验得到无阻尼自然振荡频率，而只能得到阻尼振荡频率 d，。可见阻尼振荡频率总是低于无阻尼自然振荡频率。值增大时，阻尼振荡频率d 将减小。如果增加到大于1，系统的响应将变为过阻尼，因而不再产生振荡。,2.临界阻尼情况(=1),响应曲线如图所示，响应过程是非周期的。,3.过阻尼情况(1),当远大于1时，在两个衰减的指数项中，一个衰减很快，另一个衰减很慢，衰减得快的指数项可以忽略，于是，系统的响应就类似于一阶系统的响应了。一般来
4、说，只要一个负实根比另一个大4倍以上，阻尼比大于1.25时，就可以近似将系统等效成一阶的。,图中画出一簇随变化的响应曲线c(t)。,可以看出，当欠阻尼系统的值在0.5-0.8之间时，响应曲线比临界阻尼或过阻尼情况下的响应曲线能更快达到稳定值。,二阶系统阶跃响应过渡过程分析,上升时间：指单位阶跃响应曲线c(t)从稳态值的10上升到90所需的时间。,峰值时间：指单位阶跃曲线c(t)超过其稳态值而达到第一个峰值所需要的时间。,超调量：当稳态值c()=1时，从1开始计算的响应曲线的最大过调量值称为超调量。,调节时间：在单位阶跃响应曲线的稳态值附近，取士5（有时也取士2）作为误差带，响应曲线达到并不再超
5、过该误差带的最短时间称为调节时间（或过渡过程时间）,超调量随着阻尼比的增大而减小。,衰减率同超调量一样，只与阻尼比有单值关系。,衰减率随阻尼比的增大而增大。,包络线是一对时间常数为1/(n)的指数曲线。系统阶跃响应的衰减速度取决于时间常数1/(n)，或取决于特征根的负实部。时间常数T=1/(n)的数值越大，或实部 的数值越小，阶跃响应的衰减速度越慢，调节时间ts也就越长。,可以看出，在同一n的情况下，当在0和1之间时，阻尼很小的系统的调节时间ts比具有较大阻尼的系统调节时间要长。对于过阻尼系统，由于响应曲线上升极慢，所以调节时间也较长。,阶跃响应的衰减速度和调节时间取决于特征根的负实部。为了保证必要的衰减速度和调节时间，特征根的负实部的绝对值应不小于0。阶跃响应的超调量和衰减率取决于衰减指数m，即取决于特征根的负实部和虚部的绝对值之比。为了保证必要的超调量和衰减率，衰减指数m不应小于m0。,因此，如果以0和mm 0作为调节系统满足稳定性裕度的指标来要求，那么对系统特征根的分布也就提出了一定的限制，即这些根必须落在复平面的某一特定区域之内，如图中折线abcd的左方。,
