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1、5.4对称性对称性与守恒定律,一、对称性,关于对称性的普遍的严格的定义是德国数学家魏尔（H.Weyl）1951年给出的：对一个事物进行一次变动或操作，如果经过操作后，该事物完全复原，则称该事物对所经历的操作是对称的.而该操作就叫对称操作.由于操作方式不同而有若干种不同的对称性.,(1)镜象对称或左右对称,常见的对称性,(2)转动对称,(3)平移对称,二、基本操作与对称性的分类,1.空间操作与空间对称性,平移：,对平移操作状态不变的系统具有平移对称性。,平移对称,平移 d 对称,无平移对称,宏观上平移对称,转动：,对转动操作状态不变的系统具有转动对称性。,对绕空间一固定点作任意旋转都不变的系统具
2、有球对称性。,轴对称,一次轴（对称）,四次轴（对称）,绕某个定轴旋转一个角度的操作。,镜象反射：,上下、左右均对称,只左右对称,坐标系反射,右手坐标,左手坐标,根据镜象反射的性质可将物理学中的矢量,极矢量 和 轴矢量,相当于“照镜子”的变换。,分成两类：,平行反射面的分量不变向。,如：，,极矢量：,镜象反射中垂直反射面的分量反向，,分量不变向，平行反射面的分量反向。,如：,（极）,（极）,（轴）,轴矢量（赝矢量）：,镜象反射中垂直反射面的,文学创作中也有镜象对称,回文词,雾 窗 寒 对 遥 天 暮,暮 天 遥 对 寒 窗 雾,花 落 正 啼 鸦,鸦 啼 正 落 花,袖 罗 垂 影 瘦,风 剪
3、一 丝 红,瘦 影 垂 罗 袖,红 丝 一 剪 风,纳兰性德,回文诗,苏东坡,题金山寺,潮随暗浪雪山倾,远浦渔舟钓月明,桥对寺门松径小,巷当泉眼石波清,迢迢远树江天晓,蔼蔼红霞晚日晴,遥望四山云接水,碧峰千点数鸥轻,回文对联,上海自来水来自海上,南山长生松生长山南,上海自来水来自海上,南山长生松生长山南,明月钓舟,清波石眼,晴日晚霞,轻鸥数点,空间反演：,空间反演不变的系统具有对O的点对称性。,反映空间反演对称性的物理量叫宇称(parity)。,的空间反演。,的操作称为对原点O,例如，立方体对其中心具有点对称性。,2.时间操作与时间对称性,时间平移：,静止物体对时间平移具有对称性；匀速运动物体
4、的速度对时间平移具有对称性；周期系统对时间平移整数周期具有对称性。,时间反演：,力对时间反演变换有两种情况：,保守力只与物体相对位置有关，故对时间反演不变。耗散力与速度方向有关，故对时间反演变化。,牛顿第二定律对保守系统时间反演不变，对非保守系统则不具有时间反演不变性。,统计规律（如扩散）没有对时间反演的不变性。,研究系统时间反演的性质要区分宏观和微观。,3.联合操作与对称性,有的系统对某种操作可能不具有对称性，但对几种操作的联合却可能具有对称性。,例如：,对绕中心转180和黑白置换的联合操作具有对称性。,对镜象反射加上黑白置换也许还要加上必要的平移操作才构成对称操作。,对此联合操作是不变的。
5、,相联系。,伽里略变换是一种时空联合操作，,同样，洛仑兹变换也是一种时空联合操作，,但牛顿定律对此联合操作就不是不变的了。,物理学中除上述的时间、空间操作外，,还涉,及到一些其它的操作，,例如：电荷共轭变换,（粒子与反粒子间的变换），,规范变换，,牛顿定律,全同,粒子置换等等。,它们也和系统的某些对称性,三、对称性原理,自然规律反映了事物之间的“因果关系”。稳定的因果关系要求有可重复性和预见性。即：相同的原因必定产生相同的结果。称性原理：（Pierre Curie 1894年首先提出）原因中的对称性必然存在于结果中，结果中的不对称性必然存在于原因中。对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的,体
6、知道某些物理规律的情况下给出所需的结论。,一条基本原理。,根据对称性原理，,往往可在不具,根据对称性原理可论证，质点在有心力场的作用下，必在同一平面内运动。,应用举例：,论证质心系中两个质量相等的球对心碰撞后，速度必在球心联线上，且大小相等、方向相反。,（动量守恒）,如果抛体轨迹不在铅直面内(结果中出现了不对称)，则一定存在对铅直面不对称的原因。这是对称性原理反过来的应用。,四、对称性与守恒定律,每个守恒定律都相应于一种对称性(变换不变性),空间平移对称性与动量守恒定律：,有空间平移对称性的系统，其动量必然守恒。,以两粒子系统为例：,设系统相互作用能U。,平移对称,这样就由系统的平移对称性，导
7、致了不受,即从空间平移不变性导出了动量守恒定律。,空间的各向同性与角动量守恒定律：,位无关，,可以证明：,系统如果具有转动对称性，则必然角动量守恒。,外力作用的系统的动量守恒。,则系统具有转动对称性（各向同性）。,一个系统中的物理现象如果和该系统所处的方,空间各向同性将导致角动量守恒定律成立。,时间均匀与能量守恒定律：,系统中的物理现象如果和时间的平移无关，就说明时间是均匀的。可以证明：时间的均匀性将导致能量守恒定律的成立。一个系统如果对时间平移变换具有对称性，则其能量必然守恒。,随着物理学的发展，人们认识的对称性和守,恒量也越来越多。,除能量、动量和角动量外还,宇称等守恒量。,有电荷、,轻子
8、数、,重子数、,而且还能指导我们去探索未知的领域。,对称性原理是超越物理各个领域的普遍法则，,在未涉及一些具体定律之前，,我们往往可能根据,对称性原理作出一些判断，,得出某些有用的信息。,这些法则不但不会与已知领域中的具体定律相悖，,5.4.2守恒律与对称性,在物理学中具有更深刻意义的是物理定律的对称性.物理定律的对称性是指经过一定的操作后，物理定律的形式保持不变，因此物理定律的对称性又叫不变性.,关于物理定律的对称性有一条很重要的定律：对应于每一种对称性都有一条守恒定律.如：对应于空间均匀性的是动量守恒定律；对应于空间的各向同性的是角动量守恒定律；对应于空间反演对称的是宇称守恒定律；对应于量
9、子力学相移对称的是电荷守恒定律等等.物理定律的时间平移对称性决定了能量守恒.,1.机械能对空间坐标系平移对称性与动量守恒,设体系由两个相互作用的粒子组成.且只限于在x轴上运动（如图）,不受其它外力.,当两粒子间的距离 x=x2-x1时，,体系的势能,当体系发生一平移 x 时，两粒子的坐标为,但两者的距离仍为 x=x2-x1.,即动量守恒.,空间的平移对称必性意味着势能 Ep 应与x无关.势能对空间坐标系平移保持不变性要求,即,粒子受力,又得,即,2.机械能对空间坐标系转动对称性与角动量守恒,设体系由两个相互作用的质点组成，其中一个质点位于坐标原点且保持静止，另一质量为m的质点处于运动状态且不再
10、受其它力的作用.,空间坐标无限小转动,运动质点的位置矢量和速度矢量增量为,机械能对坐标系旋转的不变性有,表明质点受有心力作用，有心力对力心的力矩等于零，角动量守恒.,3.机械能对时间平移对称性与机械能守恒,设体系由两个相互作用的质点组成，其中一个质点位于坐标原点且保持静止，另一质量为m速度为 vx 的质点位于x处.,系统总机械能,机械能对时间平移具有对称性，则,而,故,即 E=常量,其实，某些量也有不守恒的时候，如在弱相互作用过程中宇称不守恒.,第七节曲率,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x)上
11、取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向,一、弧微分,弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s0 相反时s0,对曲线上任一点 M(x y),弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量为Ds.,因为当Dx0时 Ds MN 又Dx与Ds同号 所以,由此得弧微分公式:,或者,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,弯曲程度越大转角越大,转角相同弧段短的弯曲大,1、曲率的定义,二、曲率及其计算公式,问题:怎样刻画曲线的弯曲程度？,提示：
12、可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注:直线上任意点处的曲率为 0!,转角为,例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.,解:如图所示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;,R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,注:参数方城下曲率的计算,例2 计算等边双曲线xy1在点(1,1)处的曲率.,曲线在点(1 1)处的曲率为,因此y|x11 y|x12,解,例3
13、抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？,解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得,显然 当2axb0时曲率最大,因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|,例4.求椭圆,在t=0处的曲率.,解:,故曲率为,在t=0处,即在点(a,0)的曲率为,思考:,上面的椭圆在何处曲率最大?,三、曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点,在点,在曲线,把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1)有公切线;,(2)凹向一致;,(3)曲率相同.,M 处作曲线的
14、切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,例5 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适？,解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径,抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-11.25,因此,选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过2.50单位长,y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得,内容小结,1.弧长微分,或,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,
