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1、第二章 一元函数微分学,2,第二章 一元函数微分学,一、导数的概念,二、函数的求导法则,三、高阶导数,四、隐函数及参数方程参数所确定函数的导数,五、微分,2011/10/27,3,第一节导数的基本概念(The Derivative),一、导数的背景,二、导数的定义,三、导数的几何意义及应用,第一节 导数的概念,2011/10/27,4,一.背景,在真空中,当时间由t变到t+t 时,自由,1、物理背景-非匀速运动物体的速度问题,落体所经过的路程为,物体由t到t+t一段的平均速度是,第一节 导数的概念,2011/10/27,5,求物体在时刻t的瞬时速度vt,就是,令t0的极限过程：,第一节 导数的
2、概念,2011/10/27,2、医学背景-细胞的增值速度,设增值细胞在某一时刻t的总数N,显然N是时间t的函数,即N=N（t）,在t0到t0+t这段时间内,细胞的平均增长率为,6,它在t趋于0时的极限（如果存在的话）就是细胞在t0时刻的增值速度，即,第一节 导数的概念,2011/10/27,7,3、数学背景-平面曲线的切线问题(TangentLines),播放,M,N,T,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,第一节 导数的概念,2011/10/27,8,沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.,平面曲线 y=f(x)的切线：,曲线在点 A(x0,y0)处的切线
3、 AT 为过曲线上,点 A 的任意一条割线 AA 当点 A(x0+x,y0+y),定义1,第一节 导数的概念,2011/10/27,9,(1)建立一个函数关系 y=f(x)xI.,(2)求函数由 x0 到 x0+x 的平均变化率：,解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:,(3)求 x 0 的极限：,小结,第一节 导数的概念,2011/10/27,10,二.导数的概念,设函数 f(x)在 U(x0)有定义,且 x0+x U(x0).,则称函数 f(x)在点 x0 处可导,极限值 a 称为 f(x)在,点 x0 处的导数.记为,定义2,1.导数的定义,第一节 导数的概念,2011/10/27,11
4、,k 0为常数.,如果函数 f(x)在点 x0 处可导,则,第一节 导数的概念,2011/10/27,12,设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义,若,存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的右导数.记为,2.左、右导数,定义3,第一节 导数的概念,2011/10/27,13,设函数 f(x)在(x0,x0 内有定义,若,存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的左导数.记为,定义4,第一节 导数的概念,2011/10/27,14,定理,第一节 导数的概念,2011/10/27,15,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,16,3.导函数,若 x(a,b),函数 f(x)皆可
5、导,则说 f(x)在,(a,b)内可导.这时 f(x)是关于 x 的一个新函数,称之为 f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之,为 f(x)在(a,b)内的导数：,定义5,第一节 导数的概念,2011/10/27,17,函数在点 x0 I 处的导数:,若 f(x)在(a,b)内可导,且 存在,则称 f(x)在 a,b 上可导,f(x)称为 f(x)在 a,b 上,的导函数,简称为导数.,先求导、后代值.,定义6,第一节 导数的概念,2011/10/27,三、由定义求导数举例,18,步骤:,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,19,第一节 导数的概念,2011/10/27,20
6、,解,更一般地,例如,第一节 导数的概念,2011/10/27,21,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,22,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,四、导数的意义,23,1.几何意义(Geometric Interpretation),第一节 导数的概念,2011/10/27,24,y,O,x,x0,y=c,f(x0)=0,y,O,x,f(x0)=,x0,O,x,y,x0,y,O,x,x0,f(x0)不存在,f(x0)不存在,第一节 导数的概念,2011/10/27,25,例,解,根据导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,第一节 导数的概念,2011/1
7、0/27,26,2.简单的物理意义,1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.,第一节 导数的概念,2011/10/27,27,函数 f(x)在点 x0可导的,必要条件是它在点 x0 连续.,只是必要条件！,五、可导与连续的关系,第一节 导数的概念,2011/10/27,28,设 f(x)在点 x0 可导,即有,于是,故,第一节 导数的概念,2011/10/27,29,y=|x|在点 x=0 连续,但不可导.,故f(0)不存在.,y=|x|,O,x,y,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,30,在点 x=0 处的连续性和可导性.,
8、又,当 nN 时,函数在点 x=0 处连续.,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,31,当 n=1 时,不存在,故 n=1 时,函数在 x=0 处不可导.,当 n 1 时,故n 1时,函数在 x=0 处可导.其导数为,第一节 导数的概念,2011/10/27,32,f(x)在 x=0 处可导,从而,f(0)=1,f(x)在 x=0 处连续,f(0)=a.,解,第一节 导数的概念,2011/10/27,33,由可导性：,故 b=1,此时函数为,第一节 导数的概念,2011/10/27,六、小结,34,1.导数的概念与实质:增量比的极限;,3.导数的几何意义与物理意义；,5.函数可导一定
9、连续，但连续不一定可导。,4.由定义求导数；,第一节 导数的概念,2011/10/27,35,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,36,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,37,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,38,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,39,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,40,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,41,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,42,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,43,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,第一节 导数的概念,2011/10/27,44,2.切线问题,切线：割线的极限,结束,M,T,N,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,第一节 导数的概念,2011/10/27,
