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1、第二章 第三讲,导数的运算（二）,2-3,一、隐函数的导数,二、对数求导法,四、高阶导数,三、由参数方程所确定的函数的导数,1、函数和、差、积、商的求导法则：,复习,2、复合函数求导法则,一、隐函数的导数,2-2 导数的运算(二）,隐函数,隐函数的显化,我们所遇到的函数大都是一个变量明显用另一个变量表示的形式,-y=f(x),这种形式称为显函数.,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,对于这样的函数,例如,隐函数的求导法则,隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 y的导数.容易看出：“先将形式隐函数显化，然
2、后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的.对于隐函数求导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导，遇到 y 时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含,的方程，解出,即可.,例1 设y=y(x)由 确定，求.,解 两边对x求导，得,解方程得,隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例2 求隐函数 的导数,解,例3,解,解得,解,解得,例4 求由方程,所确定的隐函数,解：,所求切线方程为,即 y=x,即 x+y 3=0,例6 求椭圆曲线 处的切线方程 和法线方程.,解,切线斜率,法线斜率,所以切线方程为,法线方
3、程为,二、对数求导法,2-2 导数的运算(二）,选学内容,对数求导法,在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，还有一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数.,所谓对数求导法，就是在 y=f(x)的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法.,观察函数,方法:,先在方程两边取对数，将连乘积、商函数或幂指函数简化为和差函数，然后利用隐函数的求导方法求出导数.,复杂,适用范围:,烦琐,所以,两边对x求导，得,例1,例2,解,等式两边取对数得,例3,解,等式两边取对数得,解,等式两边取自然对数得,例4.设,，求,=,三、参数方程的导数,2-2 导数的运算
4、(二）,由参数方程确定的函数的求导法则,若将由参数方程 所确定的函数看成复合函 数：，则由复合函数的求导法则：,这就是由参数方程所确定的函数的求导法则.,例1 设,解,例2 设,解,例3 求曲线 在t=e处的切线方程和法线方程.,解,所以切线斜率,当t=e时，x=e，y=e.,法线斜率,故切线方程为,法线方程为,解,所以,例 5求摆线(a 为常数)在对应于 时曲线上点的切线方程.,解 与 对应的曲线上的点为,所以,点 P 处的切线方程为,三、高阶导数,2-2 导数的运算(二）,我们把函数 yf(x)的导数 yf(x)的导数(如果可导)叫做函数 yf(x)的二阶导数 记作,类似地 二阶导数的导数
5、叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数;一般地(n1)阶导数的导数叫做n阶导数 分别记作,y y(4)y(n),高阶导数的定义,相应地，称 为一阶导数.,若y=f(x)的n阶导数 存在，,变速直线运动的加速度a是位移函数 s=s(t)对时间 t 的二阶导数,二阶导数的物理意义:,都存在.,则称 y=f(x)n阶,二阶或二阶以上的导数称为高阶导数.,可导，此时意味着,解：本题是求 y 在点 x=e 处的二阶导数值，即 是 y 的二阶导函数在 x=e 处的函数值。,例1 y=axb 求y,ya,解,y0,例2,因为,所以,例3 已知一质点的运动方程是,则该质点运动的加速度a是_,解,=,练习 1
6、.设,解1.,2.设,练习 1.设,解2.,2.设,求n阶导数,选学内容,例1,解,例2 设,解,例3 设,求n阶导数时，通常的方法是先求出一阶、二阶、三阶等导数，从中归纳出n阶导数的表达式.因此，求 n 阶导数的关键在于从各阶导数中寻找共有的规律.,解:,所以,例4,解,注意:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),练习题,解：等式两边同时取自然对数：,等式两边求导：,五、小结,3.高阶导数的定义及物理意义,4.n阶导数的求法：逐阶求导法.,1.隐函数求导法则:直接对方程两边求导.,2.对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的 求导法则求导.,习题册第二章 第三讲,作业,
