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1、经济数学,第一部分 基本内容复习,各种类型的不定式的极限,函数的极值和最值,边际与弹性的概念,函数的单调性,洛必达法则,基本定理、概念、方法关系图：,中值定理,第3章 复习,经济数学,第一部分 基本内容复习,1.基本定理,定理3.1,如果函数 满足下列条件：,在开区间 内可导；,在闭区间 上连续；,；,经济数学,(2)拉格朗日中值定理,定理3.2,如果函数 满足下列条件：,（2）在开区间 内可导；,（1）在闭区间 上连续；,则在区间 内至少存在一点,使得,第一部分 基本内容复习,1.基本定理,经济数学,(3)综合举例,第一部分 基本内容复习,1.基本定理,函数 在闭区间1,e上是否满足拉格朗日
2、中值定理？如果满足，找出使定理结论成立的 的值。,解：因为 是初等函数，所以 在 上连续；,即,经济数学,第一部分 基本内容复习,2.利用洛必达法则求函数极限,定理 3.4,如果函数 与 满足条件：,（2）在 的某领域内（除外），都存在，且；,（1）,；,（3）存在（或为）,经济数学,第一部分 基本内容复习,2.利用洛必达法则求函数极限,求,解：,经济数学,第一部分 基本内容复习,2.利用洛必达法则求函数极限,求,解：,经济数学,第一部分 基本内容复习,(1)基本判定定理,.函数的单调性及极值的计算,定理3.6,设函数 在 内可导：,（2）如果在内，则函数在 内单调减少。,（1）如果在内，则函
3、数在 内单调增加。,经济数学,第一部分 基本内容复习,(1)基本判定定理,.函数的单调性及极值的计算,定理3.8（极值的第一充分条件）,设函数在 的某个领域内可导，且。,如果当时，；当时，,则函数 在 处取得极大值。,如果当时，；当时，则函数在 处取得极小值。,如果在 的两侧，具有相同的符号，则函数在 处不取得极值。,经济数学,第一部分 基本内容复习,(1)基本判定定理,.函数的单调性及极值的计算,定理3.9（极值的第二充分条件）,设函数 在 处具有二阶导数，且，则,当 时，函数 在 处取得极大值。,当 时，函数 在 处取得极小值。,经济数学,第一部分 基本内容复习,(2)举例,.函数的单调性
4、及极值的计算,求函数 的单调区间以及在整个定义域内的极值点。,解：函数的定义域为,经济数学,第一部分 基本内容复习,(2)举例,.函数的单调性及极值的计算,又上表可知函数的单调增区间为：,单调减区间为：,是函数f（x）的极大值点，,是函数f（x）的极小值点。,经济数学,第一部分 基本内容复习,(1)定义,4.函数的最值,最值的定义,如果函数f（x）在其定义域a，b上的函数值满足 其中 则称 为函数的最小值，为函数的最大值。,经济数学,第一部分 基本内容复习,(2)综合举例,4.函数的最值,某商品在销售单价为（p元)时，每天的需求量 某工厂每天生产该商品q单位的成本函数是（元）。若该工厂有权自定
5、价格，问该工厂每天产量为多少时，可使利润最大？这时价格为多少？,，此时价格p=44,经济数学,第一部分 基本内容复习,(1)定义,5.边际与弹性,边际成本：,边际收益：,边际利润：,经济数学,第一部分 基本内容复习,(1)定义,5.边际与弹性,需求弹性：,供给弹性：,收益弹性：,经济数学,第一部分 基本内容复习,(2)综合举例,5.边际与弹性,设某产品的总成本函数和收益函数分别为，其中q为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收益和边际利润。,解：边际成本为：,边际收益为：,边际利润为：,经济数学,第一部分 基本内容复习,(2)综合举例,5.边际与弹性,求函数 的弹性函数。,解：因为,所以弹
6、性函数为：,经济数学,第一部分 基本内容复习,(2)综合举例,5.边际与弹性,设某商品的需求函数为，（1）求需求弹性及p=50 时的需求弹性值。（2）在p=50时，价格上涨1%，总收益如何变化。,解：需求弹性：,当p=50时的需求弹性值：,又因为：,即，在p=50时，价格上涨1%，总收益将增加0.5%.,经济数学,第二部分 课堂训练,3某产品的需求函数和总成本函数分别为 求边际利润函数，并计算q=150和q=400时的边际利润。,答案：,经济数学,第二部分 课堂训练,4某商品的需求函数为，求：（1）p=5时边际需求、需求弹性，并说明它们的经济意义；（2）p=5时，若价格上涨1，总收益将变化百分之几？（3）p为多少时，总收益最大？最大总收益为多少？,
