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1、4.4 差分方程建模,则被称为方程对应的 齐次线性差分方程。,若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可分成,（4.15）,的形式，其对应的齐次方程为,（4.16）,也是方程（4.16）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。此规律对于（4.15）也成立。,方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解：（步一）先求解对应的特征方程,（4.17）,(C1,Cn为任意常数),，,为任意常数，i=1,2k。,例4.13 求解两阶差分方程,记t时段初市场上的供应量(即上 一时段的生产 量)为xt，市场上该商品的
2、价格 为Pt。商品成交的价格是由需求曲线决定的，即,x,但是，如果供应曲线和需求曲线呈图中的形状，则平衡点M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。,图和图的区别在哪里，如何判定平衡点的稳定 性呢？,现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡 点M*是否稳定取决于 在M*附近供、需曲线的局部性态。为此，用M*处供、需曲线的线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型 中M*的稳定性。,设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为,解得下一时段的商品量,（4.21）将（4.19）式、（4.21）式代入（4.20）式，整理得,（4.19）但t+1时段的商品量则不再为,由（4.1
3、9）式得,（4.22）,（4.22）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程为,其特征根为,，则,此时差分方程（4.22）是不稳定的。,由线性差分方程稳定的条件，当r2即b2a时（4.22）式是稳定的，从 而M*是稳定的平衡点。,再生产的投资水 平It取决于消费水平的变化量，设,易见，此时关系式（4.12）成立，又若 取y0=1600，y1=1700，G=550，则由迭代公式,求得 y2=1862.5,y3=2007.8,y4=2110.3,y5=2171.2,y6=2201.2,y7=2212.15,y8=2213.22,y9=2210.3,。易见,从表中可以看出，该商品在 前5年相同季节里
4、的销售量呈增长趋势，而在同一年中销售量先增后减，第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大。预测该商品以后的销售情况，一种办法是应 用最小二乘法建立经验模型。即根据本例中数据的特征，可以按季度建立四个经验公式，分别用来预测以后各年同一季度的销售量。例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量,由,求得 a=1.3，b=9.5。根据 预测第六年起第一季度的销售量 为=17.3，=18.6，如认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的，则可建立相应的差分方程模型。仍以第一季度为例，为简便起见不再引入上标，以表示 第t年第一节季度的销售量，建立形式如下的差分方
5、程：,最小，解线性方程组：,即求解,得a0=-8，a1=-1，a2=3。即所求二阶差分方程为,虽然这一差分方程恰好使所有统计数据吻合，但这只是一个巧合。根据这一方程，可迭代求出以后各年第一季度销售量的预测值 y6=21，y7=19，等。上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前 5年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种 差异 应当是微小的，故应根据统计数据建立一个共用于各个季
6、度的差分方程。,为此，将季度编号 为t=1,2,20，令,最小,求解线性方程组,即求解三元一次方程组,解得a0=0.6937,a1=0.8737,a2=0.1941,故求得二阶差分方程,（t21）,根据此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度销售量的预测值为y21=17.58，y25=19.16还是较为可信的。,建立离散模型的一条直接途径是 用差分代替微分。从人口问题的Logistic模型,可导出一阶差分方程,（4.25）,(4.25)式中右端的因子 常被称为阻尼因子。当PtN时，种群增长接 近Malthus模型；当Pt接近N时，这一因子将越来越明显地发挥阻尼作用，若PtN，它将使种群增长速度 在Pt接近N时变得越来越慢，若 PN，它将使种群呈负增长。,（4.25）式可改写为,（4.26）,记,于是(4.26)式又可改写为,（4.27）,虽然，（4.27）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0，其后的 x1可利用方程确定的递推关系迭代求出。差分方程（4.27）有两个平衡点，即x*=0和。类似于微分方程稳定性的讨论，非线性差分方程平衡点的稳定性也可通过对其线性近似方程平衡点稳定性的讨论部分地得到确定（时不能确定除外）。例如，对，讨论 在x*处的线性近似方程,若当，则平稳点 是不稳定的，（这与对 一切a，p*=N均为Logistic方程的稳定平衡点不同）。,
