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1、1,第二章 平面一般力系,2,静力学,第二章 平面一般力系,平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系。,例屋架：,有自重、,风压力、,约束反力。,这些力构成平面一般力系。,3,静力学,平面一般力系包含以下几种特殊力系：,（1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。,（2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。,（3）平面力偶系：各力偶作用面共面。,4,静力学,2-1 平面一般力系的简化,一、力的平移定理可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一指定点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原力对指定点B的矩。,=,=,证：,5,静力学,
2、该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。,该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。,例如单手攻丝时，而且丝锥易折断。,6,静力学,二、平面汇交力系的合成,设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行四边形法则：,a,b,c,d,e,说明：,（1）去掉虚线后的多边形称为力多边形。用此方法求合力，称为力多边形法则。,（2）改变分力的作图顺序，力多边形改变，但其合力不变。,7,静力学,对于由n个力组成的汇交力系，有,平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和
3、方向等于各分力的矢量和。,（a）,以A点为原点建立直角坐标系，将（a）式向x、y轴投影：,由矢量投影定理：,8,静力学,当合力等于零，即 时，汇交力系平衡。,此时，力多边形自行封闭这就是汇交力系平衡的几何条件。,合力的大小：方向：作用点：,力系的汇交点,9,静力学,例1如图所示，作用于吊环螺钉上的四个力构成平面汇交力系。已知各力的大小为F1=360N，F2=550N，F3=380N，F4=300N，方向如图。试求合力的大小和方向。,解：选取图示坐标系，则,10,静力学,合力的大小和方向分别为,由于 为正，为负，故合力在第四象限，如图所示。,三、平面力偶系的合成,11,静力学,设有两个力偶组成的
4、力偶系,结论:,平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。,对由n个力偶组成的力偶系：,=,=,12,(c),(b),静力学,四、平面一般力系向作用面内任一点简化,设刚体上作用一平面任意力系、。,在力系作用面内任取一点O，称该点为简化中心,（1）将各力平移至点O，,得一平面汇交力系和一平面力偶系。,（2）将平面汇交力系合成：,原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（它是不是原力系的合力？），用 表示，即,m1,m2,mn,=,(a),13,静力学,(3)将平面力偶系合成：,得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为:,=m1+m2+mn,原力系中各力对简化中心之矩的代数
5、和称为力系对简化中心的主矩（它是不是合力偶？）,主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。,MO,MO,=,主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。,=,(a),14,(a),静力学,过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴上的投影为：,则主矢的大小：,y,x,y,x,方向：,结论：,平面一般力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个力偶。这力的大小和方向等于原力系的主矢，作用在简化中心；这力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。,MO,15,静力学,固定端（插入端）约束,说明,认为Fi这群力在同一 平面内;将Fi向A点简化得一 力和一力偶;RA方向不定可用正交 分
6、力YA,XA表示;YA,XA,mA为固定端 约束反力;YA,XA限制物体平动,mA为限制转动。,16,静力学,=0,MO0 原力系简化为一合力偶。只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无关，因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。,简化结果：主矢，主矩 MO，下面分别讨论。,五、简化结果的讨论 合力矩定理,0,MO=0,原力系简化为一个合力，合力（原力系各力的矢量和），作用线通过简化中心O。出现这种情况是因为简化中心刚好选在了合力的作用线上了。,1.简化结果的讨论,17,静力学,0,MO 0（最一般的情况），此时可以进一步简化为一个合力。,应用力的平移定理的逆过程：,合力 在主
7、矢 的左侧还是右侧？根据合力 对简化中心矩的转向应与主矩MO的转向一致的原则来确定。,18,静力学,=0，MO=0，则力系平衡,以后讨论。,2.合力矩定理,因此,平面一般力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：合力、合力偶或平衡.,由1知,合力 对O点的矩:,又因为主矩:,于是:,即:平面一般力系的合力对力系所在平面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点矩的代数和，这就是合力矩定理。,19,例如已知：如图 F、Q、l,求：和,静力学,解：用力对点的矩法 应用合力矩定理,20,例2 图示工字形工件的横截面受三力作用，大小分别为：F1=600N，F2=400N，F3=300N，试将此力系向A点简化并
8、求简化的最后结果。图中长度单位:mm。,静力学,解:（1）计算主矢,建立直角坐标系Axy：,x,y,Rx=Xi=F2=400N,Ry=Yi=-F1+F3=-300N,的大小：,方向：=arctgRx/Ry=53.10,因为Rx为正，Ry为负，所以主矢在第四象限。,21,（2）计算力系对A点的主矩,静力学,MA=0.1F1+0.1F3=90Nm,（3）求简化的最后结果,由于 0，MA0，因此可进一步简化为一个合力，,d=MA/R=90/500=0.18m=180mm,，R=R=500N，合力作用线距A点,注意:,不管是向A点简化，还是向其它点简化，简化的最后结果都是一样的。,要在图上画出、MA、
9、d；,MA,d,22,静力学,2-2 平面一般力系的平衡条件与平衡方程,由于=0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡,一、平面一般力系的平衡方程,23,静力学,三个独立方程，只能求出三个未知数。,两投影轴可以不垂直（但不能平行）；矩心也可任选，不一定坐标原点（因为主矢等于零，主矩与简化中心的位置无关）。,采用那种形式，先列那个方程，应以简便为原则。,24,静力学,例3 图示起重机，均质梁重Q=4.2kN，荷载W=10kN。不计杆BC自重，求平衡时A处的反力和杆BC受的力。,解：以AB梁为研究对象,受力图如图（以后对整体结构的受力图，可以直接画在原图上）,S6 sin300-3Q-4W=0,(拉）
10、,25,静力学,Xi=0,XAS cos300=0,XA=S cos300=17.530.866=15.18kN,Yi=0,YA Q W+Ssin300=0,YA=Q+W Ssin300,=5.44kN,以上使用的是平衡方程的基本形式，如用二力矩式，则：,Xi=0,同前,3Q+2W 6YA=0，,YA=5.44kN,如使用三力矩式，则由 可求得,y,x,26,静力学,平面一般力系的解题步骤：,1.选取研究对象,2.画受力图,3.选投影轴及矩心：尽可能使投影轴与未知力垂直，矩心尽可能选在未知力的交点上，以使每个方程中的未知量的数目最少。,4.列方程求解：应先列只含一个未知量的方程，避免解联立方程
11、。,此外，计算力矩时要善于应用合力矩定理。,27,静力学,二、平面汇交力系的平衡方程,O,x,y,图示平面汇交力系，,取汇交点O未简化中心，则,于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面汇交力系的平衡方程：,Xi=0,Yi=0,28,静力学,例4 已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力ND=？,解：研究对象：球A（其受力为平面汇交力系）,由得,由得,29,静力学,三、平面平行力系的平衡方程,图示平行力系，,x,y,取如图所示直角坐标系，则,Xi0,于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式及二力矩式，得平面平行力系的平衡方程：,Yi=0,基本形式,二力矩式,O,AB连线不能平行 于各力的作用线
12、,30,静力学,31,静力学,限制条件：解得,解：首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小Q为：,空载时，W=0,限制条件为：,解得,因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：,32,静力学,求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：,解得：,i,33,静力学,四、平面力偶系的平衡方程,因为力偶在任一轴上的投影的代数和恒等于零，即,Xi0,Yi0,所以，有平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面力偶系的平衡方程：,mi=0,34,静力学,例6 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力
13、?,解:各力偶的合力偶距为,根据mi=0有:,由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。,35,静力学,2-3 静定与静不定问题的概念 物体系统的平衡,独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）,每种力系的独立平衡方程数是一定的，因而能求解未知量的个数也是一定的。,静不定次数：未知量的数目独立平衡方程的数目,36,静力学,例,静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。,静定（未知数三个）静不定（未知数四个）,37,静力学,例,二、物体系统的平衡问题,外力：外界物体作用于系统上的力。内力：系统内部各物体之间
14、的相互作用力。,物体系统（物系）：由两个及以上物体通过约束所组成的系统。,38,静力学,物系平衡的特点：物系平衡，物系中每个物体也平衡。,在平面一般力系作用下，一个物体可列3个平衡方程，则由n个物体组成的系统可列3n个方程。,要分清内力与外力，内力不画在受力图上。,39,静力学,*例7 已知：OA=R,AB=l,当OA水平时，冲压力为P时，求：M=？O点的约束反力？AB杆内力？冲头给导轨的侧压力？,解：研究B,40,静力学,负号表示力的方向与图中所设方向相反,再研究轮,41,静力学,例8组合梁ABC所受荷载及支承情况如图所示。已知集中力P=10 kN，均布荷载的集度q=20 kNm，力偶矩m=150kNm，l=8m。试求A、C处的反力。（教材例2-6）,解（1）以AB为研究对象：,42,静力学,(2)以整体为研究对象：,mC,y,x,
