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1、4.3 平面向量的数量积基础知识 自主学习要点梳理1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，则 数量 叫做向量a和b的数量积（或内积），记作.规定：零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是.,|a|b|cos,ab=|a|b|cos,0,ab=0,ab=|a|b|,2.平面向量数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投 影 的乘积.3.平面向量数量积的重要性质（1）ea=ae=；（2）非零向量a，b，ab；（3）当a与b同向时，ab=；当a与b反向时，ab=,aa=，|a|=;（4）cos=；（5
2、）|ab|a|b|.,|b|cos,a2,-|a|b|,|a|cos,ab=0,|a|b|,4.平面向量数量积满足的运算律（1）ab=（交换律）；（2）（a）b=（为实数）；（3）（a+b）c=.5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 ab=，由此得到（1）若a=（x，y），则|a|2=x2+y2或|a|=.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点 间的距离|AB|=|AB|=.（3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab.,ba,ab,ab,ac+bc,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,基础自测1.已知a=(
3、2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为.解析 设a和b的夹角为，|a|cos 2.（2009常州市武进区四校高三联考）已知向 量a=(2,1),b=(3,)(0),若(2a-b)b,则=.,3,3.(2008浙江理)已知a、b是平面内两个互相垂 直的单位向量，若向量c满足（a-c）（b-c）=0，则|c|的最大值是.解析 由于(a-c)(b-c)=0,并且ab=0;所以cc=(a+b)c 即|c|2=(a+b)c=|c|a+b|cosa+b,c,即|c|=cosa+b,c,当cosa+b,c=1 时,|c|取得最大值为.4.（2009全国改编）已知向量a=(2,1),ab=10,|
4、a+b|=5，则|b|=.解析|a+b|2=a2+2ab+b2=5+20+b2=50,b2=25,|b|=5.,5,典型例题 深度剖析【例1】（1）在RtABC中，C=90，AB=5，AC=4，求ABBC.（2）若a=(3,-4),b=(2,1),试求(a-2b)(2a+3b).向量的数量积有两种计算方法，一是依 据长度与夹角来计算，二是依据坐标来计算.具 体应用时可根据已知条件的特征来选择，本题（1）中两向量AB、BC的长度及夹角容易求得，故可用公式ab=|a|b|cos 来求解.而（2）中向量a、b的坐标已知，可求a2、b2、ab，也 可求a-2b与2a+3b的坐标，进而用（x1,y1）(
5、x2,y2)=x1x2+y1y2来求解.,分析,解（1）在ABC中，C=90，AB=5，AC=4，故BC=3，且cosABC=,AB与BC的夹角=-ABC,ABBC=-|AB|BC|cosABC=-53=-9.(2)a-2b=(3,-4)-2(2,1)=(-1,-6),2a+3b=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5),(a-2b)(2a+3b)=(-1)12+(-6)(-5)=18.,跟踪练习1 已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos,-sin)，且（1）求ab及|a+b|;（2）若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小 值.解（1）ab=cos xcos-
6、sin xsin=cos 2x,a+b=(cos+cos,sin x-sin)|a+b|=cos x0,|a+b|=2cos x.,(2)由（1）可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2（cos x-）2-.cos x1，当cos x=时，f(x)取得最小值为-；当cos x=1时，f(x)取得最大值为-1.,【例2】已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).（1）求证：a+b与a-b互相垂直；（2）若ka+b与a-kb的模相等，求-.(其中k 为非零实数)（1）a+b,a-b可分别用坐标表示出来，要 证垂直，只需证(a+b)(a-b)=0.
7、（2）由|ka+b|=|a-kb|得到cos(-)的值，再 由-的范围确定-的值.（1）证明(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b与a-b互相垂直.,分析,（2）解 ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),|ka+b|=|a-kb|=|ka+b|=|a-kb|,2kcos(-)=-2kcos(-).又k0,cos(-)=0.而0,-=.,跟踪练习2 已知平面内A、B、C三点在同一条直 线上，OA=（-2，m），OB=（n，1），OC=（5，-1），且OAOB，求
8、实数m,n的值.解 由于A、B、C三点在同一条直线上，则 ACAB，AC=OC-OA=（7，-1-m），AB=OB-OA=（n+2，1-m），7（1-m）-（-1-m）（n+2）=0，即mn+n-5m+9=0,又OAOB，-2n+m=0.m=6 m=3 n=3 n=.,或,联立，解得,【例3】（2009全国理改编）设a、b、c是单 位向量，且ab=0,则（a-c）（b-c）的最小 值为.解析 ab=0,且a,b,c均为单位向量，a+b=,|c|=1.(a-c)（b-c）=ab-(a+b)c+c2.设a+b与c的夹角为,则（a-c）（b-c）=1-|a+b|c|cos=1-cos.故(a-c)（
9、b-c）的最小值为1-.,跟踪练习3 已知a=b=（1）求 的最值；（2）若|ka+b|=|a-kb|(kR),求k的取值范围.解（1）ab=|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=2+2cos 2=4cos2.|a+b|=2cos.,（2）由题设可得|ka+b|2=3|a-kb|2,（ka+b）2=3（a-kb）2又|a|=|b|=1,ab=cos 2，cos 2=,【例4】（14分）设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为式,若向量2te1+7e2与 e1+te2的夹角为钝角，求实数t的范围.由公式cos=可得若为钝角，则cos 0,即ab0，从而可求出t的
10、取值范 围，同时要注意共线反向，即=这一情况.解题示范 解 由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，即(2te1+7e2)(e1+te2)0,分析,化简即得2t2+15t+70,解得-7t-,6分当夹角为时，也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此时夹角不是钝角，2te1+7e2与e1+te2反向.10分设2te1+7e2=(e1+te2),0,14分,跟踪练习4 设n和m是两个单位向量，其夹角是 60，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.解 由|m|=1，|n|=1，夹角为60，得 mn=.则有|a|=|2m+n|=|b|=而ab=（2m+n）（2n-3m）=mn-6
11、m2+2n2=-设a与b的夹角为，则cos=又0180,故a与b的夹角为120.,思想方法 感悟提高高考动态展望新课标强调向量的工具性作用，尤其是数量积与三角函数的综合应用已经成为近几年高考的趋势，一般地，在向量与三角函数的综合题中，向量的作用是经过向量的坐标运算给出三角函数的等式或解析式，尤其是化归成y=Asin(x+)型的函数，考查其单调性、周期性、最值等性质.,方法规律总结1.数量积ab中间的符号“”不能省略，也不 能用“”来替代.2.要熟练类似（a+b)(sa+tb)=sa2+(t+s)ab+tb2 的运算律（、s、tR）.3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,将模的 运算转
12、化为向量的数量积的运算.4.一般地，（ab）c(bc)a即乘法的结合律 不成立.因ab是一个数量，所以(ab)c表示 一个与c共线的向量，同理右边（bc）a表示 一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一 般情况下（ab）c(bc)a.,定时检测一、填空题1.（2010常州模拟）向量a=(cos 15,sin 15),b=(-sin 15,-cos 15),则|a-b|的值是.解析 由题设，|a|=1,|b|=1,ab=-sin(15+15)=-.|a-b|2=a2+b2-2ab=1+1-2（-）=3.|a-b|=.,2.（2009浙江温州十校联考）在边长为1的正三 角形ABC中，设BC=a
13、，AB=c，AC=b，则 ab+bc+ca=.解析 如图所示，a+c=b，ab+bc+ca=b（a+c）+ac=b2+ac=1+|a|c|cosa，c=1+cos 120=.,3.（2010广东韶关一中模拟）若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则ab+bb 的值为.解析 ab+bb=|a|b|cos 60+|b|2=12+4=5.4.(2009重庆改编)已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2，则向量a与b的夹角是.解析 a(b-a)=ab-a2=2,ab=2+a2=3 cosa，b=a与b的夹角为.,5,5.（2009福建福州期末）若a与b-c都是非零向 量，则“
14、ab=ac”是“a（b-c）”的 条件.解析 若a（b-c），则a（b-c）=0 ab-ac=0ab=ac.,充要,6.（2010天津六校联考）点O是三角形ABC所在 平面内的一点，满足OAOB=OBOC=OC OA，则点O是ABC的 心.解析 由OAOB=OBOC，得OBOA-OBOC=0,即OB（OA-OC）=0,OBCA=0，OBCA.同理可得OABC,OCAB.O是三角形三条高线的交点.,垂,7.（2008江西理，13）直角坐标平面内三点 A（1，2）、B（3，-2）、C（9，7），若E、F为线段BC的三等分点，则AEAF=.解析 BC=(6,9),BE=BC=(2,3),BF=BC=
15、(4,6).又AB=(2,-4),AE=AB+BE=(4,-1),AF=AB+BF=(6,2),AEAF=46+(-1)2=22.,22,8.（2009辽宁改编）平面向量a与b的夹角为 60，a=（2，0），|b|=1,则|a+2b|=.解析 a=(2,0),故|a|=2，|a+2b|=ab=|a|b|cos 60=1,|a+2b|=,9.（2009陕西改编）在ABC中，M是BC的中 点，AM=1，点P在AM上且满足AP=2PM，则 PA（PB+PC）=.解析 M是BC的中点，则 PA（PB+PC）=PA2PM=PAAP=-（PA）2,二、解答题10.（2010山东临沂一模）向量a=(cos
16、23,cos 67),向量b=(cos 68,cos 22).(1)求ab；（2）若向量b与向量m共线，u=a+m,求u的模的 最小值.解（1）ab=cos 23cos 68+cos 67cos 22=cos 23sin 22+sin 23cos 22=sin 45=,（2）由向量b与向量m共线，得m=b(R），u=a+m=a+b=(cos 23+cos 68,cos 67+cos 22)=（cos 23+sin 22，sin 23+cos 22），|u|2=(cos 23+sin 22)2+(sin 23+cos 22)2,11.（2010浙江台州月考）已知平面上三个向量 a、b、c的模均为
17、1，它们相互之间的夹角均为 120.(1)求证：（a-b）c;(2)若|ka+b+c|1(kR)，求k的取值范围.（1）证明（a-b）c=ac-bc=|a|c|cos 120-|b|c|cos 120=0,（a-b）c.,（2）解|ka+b+c|1|ka+b+c|21,k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1.|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c相互之间的夹角均为120,a2=b2=c2=1，ab=bc=ac=-，k2+1-2k1,即k2-2k0,k2或k0.,12.（2009广东广州二模）已知向量a=b=若函数f(x)=ab-|a+b|的最小值为，求实数的 值.解|a|=1，|b|=1，cos x0，1.ab=|a+b|=,f（x）=cos 2x-cos x=2cos2x-cos x-1=2(cos x-)2-1，当4时，取cos x=1,此时f(x)取得最小值，并且f(x)min=1-=,解得=,不符合4舍去,=2.,返回,
