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1、Friday,July 14,2023,1,第三节 广义根轨迹,Friday,July 14,2023,2,上一节讨论了开环根轨迹增益 变化时系统的闭环根轨迹。在实际系统设计中，还常常碰到其它参数变化时对闭环特征方程的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正环节的参数等。,需要绘制除 以外的其它参数变化时闭环系统特征方程根的轨迹，就是参量根轨迹。,解：闭环传递函数为：,绘制参量根轨迹的例子：如下图，绘制开环极点-p变化时的参量根轨迹（设）。,一、参量根轨迹,Friday,July 14,2023,3,特征方程为：,相当于开环传递函数，称为等效开环传递函数。参数p称为等效根轨迹增益。画出p从0时的根
2、轨迹如下：,此式与前述的根轨迹方程形式 完全相同。,实轴上根轨迹为负实轴；,根轨迹有两支，起点为2j，终点一为0零点，另一为无穷远零点。,出射角：,Friday,July 14,2023,4,由根轨迹可见在复平面上的根轨迹是半个圆，对应0p4。由二阶系统特征方程可见：，解得即 时，这对应于欠阻尼情况。,分离点和会合点：,Friday,July 14,2023,5,一般情况，只要所论参数是线性地出现在闭环特征方程中，总可以把方程写为不含可变参数的多项式加上可变参数和另一多项式的乘积。将不含可变参数的多项式除方程两边，便可得到以可变参数为根轨迹增益的等效根轨迹方程。注意此时的等效是指闭环特征方程相
3、同，而并不保证闭环传递函数相同，除非根轨迹参数是系统的开环增益。,绘制参量根轨迹的步骤：列出系统的闭环特征方程；以特征方程中不含参变量的各项除特征方程，得等效的系统根轨迹方程。该参量称为等效系统的根轨迹增益。用已知的方法绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。,Friday,July 14,2023,6,例：系统结构如图所示，绘制以为参变量的根轨迹，并讨论速度反馈对系统阶跃响应的影响。,解：先求等效开环传递函数。此时系统特征方程为,令，等效开环传函为,Friday,July 14,2023,7,画参量根轨迹,开环极点为5.4、0.3j1.292，开环零点为。,渐近线：,出射角：,注意此时
4、根轨迹上的点仅与闭环极点有关，对本题而言有开环零点，而无闭环零点。,Friday,July 14,2023,8,讨论,*=0，此时闭环极点为等效开环极点，即5.4、0.3j1.292，此时=5.4/0.3=18，可看作二阶系统。=0.226，%=48.2%，ts=10s,*=5.375，此时闭环极点为4、1j1.17，此时=4/1=4，若看作二阶系统则：=0.65，%=6.8%，ts=4s,*=7.75，此时闭环极点为2、2j0.866，此时=2/2=1，已不能看作二阶系统。,*=9.5，此时闭环极点为1、2.5j1.8，此时可看作一阶系统。,Friday,July 14,2023,9,当系统
5、有两个参数变化时，所绘出的根轨迹称谓根轨迹簇。,Friday,July 14,2023,10,Friday,July 14,2023,11,取p为不同值时，绘制参量Kg从零变化到无穷大时的180度（常规）根轨迹。这时，根轨迹方程为：,p不同时的根轨迹如右所示：,Friday,July 14,2023,12,二、正反馈系统的根轨迹,以上我们讨论的都是闭环负反馈系统的根轨迹绘制准则。在实际的复杂系统中，可能有局部的正反馈的结构。正反馈系统的根轨迹绘制准则与负反馈系统根轨迹略有不同。如下图所示系统：,开环传递函数为：,闭环传递函数为：,Friday,July 14,2023,13,相应的根轨迹方程为
6、：,幅值条件和相角条件为：,与负反馈系统根轨迹比较，幅值条件相同，相角条件不同。负反馈系统的相角条件，是180度等相角条件；而正反馈系统的相角条件，是0度等相角条件。,注意：负反馈系统根轨迹称为180度根轨迹或常规根轨迹，简称为根轨迹；正反馈系统根轨迹称为0度根轨迹或补根轨迹。,Friday,July 14,2023,14,绘制0度根轨迹的基本准则：,对称性和连续性同常规根轨迹；,起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹；,渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，为：，有n-m个角度。,实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零极点之和为偶数（包括0）的区域。,分离点、会合点和分离角：同常规根轨迹
7、；,Friday,July 14,2023,15,与虚轴的交点：同常规根轨迹；,闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。,出射角和入射角：,Friday,July 14,2023,16,起点在0，-1，-5处，终点在无穷远处。有3支根轨迹。,实轴上根轨迹区间：-5，-1，0，）,显然，不在根轨迹上。分离点为：。,解：,Friday,July 14,2023,17,Friday,July 14,2023,18,比较正负反馈的根轨迹方程：,若开环传递函数为：,则正负反馈的根轨迹方程分别为：,可见，正反馈根轨迹相当与负反馈根轨迹的Kg从0时的根轨迹。,所以，若将正负反馈系统的根轨迹合并，可得Kg时的整个区
8、间的根轨迹，称为全根轨迹。,Friday,July 14,2023,19,左图为正反馈（0度）根轨迹图；右图为负反馈（180度）根轨迹图；,将例4-9的给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：,Friday,July 14,2023,20,三、非最小相位系统的根轨迹,定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传递函数。,这里只讨论在右半S平面上具有极点或零点的非最小相位系统根轨迹。将开环传递函数写为零极点形式，可出现两种情况：,若,若,按180根轨迹画图。,按 0根轨迹画图。,
