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1、1.2.1 应用举例,对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解(1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图,(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图,(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为.,(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角，如南偏西60，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60.如图中ABC为北偏东60或为东偏北30.正弦定理、余弦定理在实际测量中应用很广，主要学习它们在测量、等问题中的一些应用,距离,高度,角度,例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。,测
2、量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，BAC51o，ACB75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）,分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形,解：根据正弦定理，得,答：A,B两点间的距离为65.7米。,例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。,分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。,解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理
3、得,计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离,测量垂直高度,1、底部可以到达的,测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。,例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分是,CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。,图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？,想一想,分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。,解：,答：烟囱的高为 29.9m.,分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长,CD=BD-BC177-27.3=1
4、50(m),答：山的高度约为150米。,解：在ABC中，BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根据正弦定理，,例3：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD,分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高度C
5、D.,解：在ABC中，A=15,C=25 15=10.根据正弦定理，,CD=BCtanDBCBCtan81047(m),答：山的高度约为1047米。,一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45距离10海里的C处，并沿方位角为105的方向，以9海里/时的速度航行“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程,1、分析：理解题意，画出示意图,2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中,3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。,
6、4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。,实际问题数学问题（三角形）数学问题的解（解三角形）实际问题的解,解斜三角形应用题的一般步骤是：,如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.,某观测站C在城A的南偏西20的方向，由城出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上有一人距C为31km正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时C、D间的距离为21km，问这人还要走多少千米可到达A城？,题后感悟在充分理解题意的基础上画出大致图形，由问题中的有关量提炼出三角形中的元素用余弦定理、勾股定理解三角形,
