《应用问题的》PPT课件.ppt

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1、第4讲 应用问题的题型与方法,数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型.高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，能结合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的数学问题，并能用数学语言加以表述.,考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转

2、译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答.可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力.,由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求，在陌生的情景中找出本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题.,“考试大纲”对于“解决实际问题的能力”的界定是：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解

3、决问题，包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述.并且指出：对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，切合中学数学教学实际.,应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试大纲”所规定的数学知识和方法来求解.,求解应用题的一般步骤是（四步法）：（1）读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；（2）建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；（3）求解：化归为

4、常规问题，选择合适的数学方法求解；（4）评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.,在近几年高考中，经常涉及的数学模型有：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.函数模型：函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.根据题意，熟练地建立函数模型；运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.,几何模型：涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.数列模型：诸如增

5、长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.,例1（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22，人均粮食产量比现在提高10，如果人口年增长率为1，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产；人均粮食产量）,分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策.解：1.读题：问题涉及

6、耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P，主要关系是：P P.,2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(10.22)，人口数为m(10.01)，耕地面积为（1010 x）.（10.1）即 1.22（1010 x）1.110（10.01）,3求解：x10 10（10.01）（10.01）1C 0.01C 0.01 C 0.01 1.1046 x10 995.94（公顷）4评价：答案x4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）,另解：1读题：粮食总产量单产耕地面

7、积；粮食总占有量人均占有量总人口数；而主要关系是：粮食总产量粮食总占有量2建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现粮食单产为a吨公顷，现人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(10.22)，人口数为m(10.01)，耕地面积为（10 10 x）.,a(10.22)(1O 10 x)(10.1)m(10.01)3求解：x10 10（10.01）（10.01）1C 0.01C 0.01 C 0.01 1.1046 x10 995.94（公顷）4.评价：答案x4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.,说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率.其中耕地面积为等差数列，

8、总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解.本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式.,在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01 1，算得结果为x98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01 的近似计算上.,例2（1991年上

9、海高考题）已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m，如果该市每年人口平均增长率为2，每年平均新建住房面积为10万m，试求到2000年底该市人均住房面积（精确到0.01）？,分析：城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积.解：1.读题：主要关系：人均住房面积2.建模：2000年底人均住房面积为3.求解：化简上式，,1.02 1C 0.02C 0.02 C 0.021.219 人均住房面积为 4.924.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m.,说明：一般地

10、，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型属于应用问题中的数列模型.,例3如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中在距离O地5a（a为正数）公里北偏东角的N处住有一位医学专家，其中sin=现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时.,（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时.,解：（1）以O为原点，正北方向为y

11、轴建立直角坐标系，则 设N（x0，y0），又B（p，0），直线BC的方程为：由 得C的纵坐标，（2）由（1）得，当且仅当 时，上式取等号，,例4（1997年全国高考题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）的函数，并指出函数的定义域；为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？,分析：几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.解：（读题

12、）由主要关系：运输总成本每小时运输成本时间，（建模）有y(abv)（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）的函数关系式是：yS(bv)，其中函数的定义域是v(0，c.,整理函数有yS(bv)S(v)，由函数yx(k0)的单调性而得：当 c时，则v 时，y取最小值；当 c时，则vc时，y取最小值.综上所述，为使全程成本y最小，当 c时，行驶速度应为v；当 c时，行驶速度应为vc.,说明：1对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，

13、也可属于不等式模型.2二次函数、指数函数以及函数（a0，b0）的性质要熟练掌握.3要能熟练地处理分段函数问题.,例5（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类20)）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南 方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？,解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻t：（1）台风中心P（）的坐标为此时台风侵袭的区域是其中 若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有即,例6（

14、2003年北京卷文史类19）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？,分析：本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.（）解：设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为 所以，当 时，函数 取得最小值.答:点P的坐标是,（）解：P至三镇的最远距离为 由 解得 记 于是 因为 在 上是增函数，而 上是减函数.所以

15、 时，函数 取得最小值.答:点P的坐标是,例7（2002年全国高考题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?,解：设2001年末汽车保有量为 万辆，以后各年末汽车保有量依次为 万辆，万辆，每年新增汽车 万辆，则，所以，当 时，两式相减得：（1）若，即 显然符合题意,（2）当，即 时，则，对于任意正整数n，均有 恒成立，即 对于任意正整数n恒成立，解这个关于x的一元一次不等式，得由于关于n的函数 单调递减，所以.,例8：平地上有一条水沟，沟

16、沿是长100米的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5米，沟中水深1米，（1）求水面宽；（2）如图所示形状的几何体称为柱体。已知柱体的体积为底面积乘以高，问沟中的水有多少立方米？（3）若要把这条水沟改挖（不准填土）成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，则改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？,解：（1）如图，建立直角坐标系。,则抛物线的方程为,则由抛物线过点，得，于是抛物线方程为 当 时，则水面宽为 米；（2）水的体积（3）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切。设切点 是抛物线弧OB上的一点，过P作抛物

17、线的切线得如图所示的直角梯形OCDE，则切线CD的方程为：，于是，记梯形OCDE的面积为S，,则，当 时，S取得最小值，此时所挖的土最少。例 9：一个容积为0.5升的杯子盛满刚沏好的茶,通常“喝完”的习惯是喝掉 后再加满开水。加10次水后认为是喝淡了，如果能测定此时茶质和水的比例为a，简称茶水比，问最初的茶水比是多少？,解：设最初的茶水比是x，则喝完一次并加满水后的茶水比是则猜想，可用数学归纳法证明（略）则，解得,例10：一副纸牌共52张，含红星、黑桃、方块、梅花四种花色，每种花色分别含有2至10及J、Q、K、A各13张牌。上海电脑体育彩票4花选4规定每期的购买者分别在四种花色中各自行选取1张

18、牌，作为一组中奖号。每期摇奖时开出四种花色各一张牌，作为一组中奖号，当对奖号的4张牌与中奖号的4张牌完全相同时，获一等奖；当对奖号中有3张牌与中奖号中的牌相同时，,获二等奖；当对奖号中有2张牌与中奖号中的牌相同时，获三等奖，并规定每位中奖者每期最多只能中一项奖，不可兼中兼得。根据以上规定，计算每购买一张彩票中奖的概率（精确到0.001)。,分析：根据乘法原理对奖号共可以有 种不同的选法。获奖有三种可能：一等奖只有一种选法；二等奖共有 种不同的选法，三等奖共有 种不同的选法，根据加法原理可以得到获奖的各种不同选法的总数，则所求的概率为,例11：在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为

19、警戒水域.。点E正北55海里处有一个雷达观测站A。.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 且与点A相距 40 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距 10 海里的位置C.,（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.,解（I）如图AB=40，AC=10，由于，所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II）如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y1）,C（x2，y2），BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y

20、1=AB=40，,所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x40.又点E（0，55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.,例12：某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第K棵树种植在点 处，其中，当 时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为,解：由 求出第2棵树种在点（2，1）处，第3棵树种在（3，1）处，第4棵树种在点（4，1）处，第5棵树种在点（5，1）处，第6棵树种在点（1，2）处，第7棵树种在点（2，2）处，不难发现，以5为周期，横坐标依次为1，2，3，4，5交替出现；纵坐标每隔5依次

21、加1；而，则第2008棵树种在点（3，402）处,例13：甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：（）至少有1人面试合格的概率;（）签约人数 的分布列和数学期望.,解 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知A，B，C相互独立，且P（A）P（B）P（C）.（）至少有1人面试合格的概率是,（）的可能取值为0，1，2，3.=,所以，的分布列是 的期望,作业：用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上。设用 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数（1）试规定 的值，并解释其实际意义；,（2）试根据假定写出函数 应该满足的条件和具有的性质；（3）设，现有 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由。,