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1、第五章 异方差性Heteroskedasticity,一、异方差性的概念二、异方差性的后果三、异方差性的检验四、异方差性的估计五、案例,回归分析，是在对线性回归模型提出若干基本假设的条件下，应用普通最小二乘法得到了无偏的、有效的参数估计量。但是，在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假设的情况并不多见。如果违背了某一项基本假设，那么应用普通最小二乘法估计模型就不能得到无偏的、有效的参数估计量，OLS法失效，这就需要发展新的方法估计模型。如果随机误差项序列不具有同方差性，即出现异方差性。,说 明,一、异方差的概念,1、异方差的概念回忆同方差性（homoscedasticity),同方差矩阵假
2、定：模型的假定条件 给出Var(u)是一个对角矩阵，且主对角线上的元素都是常数且相等。Var(u)=E(u u)=2I=,即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，则认为出现了异方差性。,(A),储蓄Y与收入X：异方差的图形表示,同方差,2、异方差的类型,同方差性假定的意义是指每个i围绕其零平均值的变差，并不随解释变量X的变化而变化，不论解释变量观测值是大还是小，每个i的方差保持相同，即i2=const 在异方差的情况下，i2已不是常数，它随X的变化而变化，即i2=f(Xi),异方差一般可归结为三种类型：,（1）单调递增型：i2随X的增大而增大；（2）单调递减型：i2随X的增大而减小;（
3、3）复 杂 型：i2与X的变化呈复杂形式。,例子,1、同方差 2、单调递增型 3、单调递减性 4、条件自回归型,（1）模型中缺失了某些解释变量服装需求函数模型服装需求量为被解释变量，收入、服装价格和其他商品价格为解释变量，于是有：i=1,2,n在该模型中，气候因素没有包括在解释变量中，其影响被包含在随机误差项中。如果该项影响构成随机误差项的主要部分，则可能出现异方差性。为什么？,3、实际经济问题中的异方差性,解释：对于不同的样本点，即对于不同的收入的消费者，由于气候变化带来的对服装需求量的影响是不同的。高收入者在气候变化时可以拿出较多的钱购买服装以适应气候的变化，而低收入者的适应能力则很有限。
4、于是不同收入的消费者的服装需求量偏离均值的程度是不同的，也就是说不同收入的消费者的服装需求量具有不同的方差，这就产生了异方差性。更进一步分析，在这个例子中，随机误差项的方差是随着解释变量（收入）的观测值的增大而增大。单调递增型,（2）样本数据的观测误差,例如，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据作样本建立居民消费函数：Ci=0+1Ii+i 将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。,居民消费模型,一般情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的
5、增大而先减后增。如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值的增大而先减后增（即U型考虑到收入的正态分布），出现了异方差性。,以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素为解释变量，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。,由于每个企业所处的外部环境(宏观经济政策等等)对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。,企业生产函数模型,这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，为复杂型的一种。,3、
6、实际经济问题中的异方差性,（1）模型中缺失了某些解释变量（2）样本数据的观测误差补充：(1)时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。(2)经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。,二、异方差性的后果,1、参数估计量非有效2、变量的显著性检验失去意义3、模型的预测失效,1、参数估计量非有效,普通最小二乘法参数估计量仍然具有线性性、无偏性和一致性，但不具有有效性。因为在有效性证明中利用了 E(UU)=2I（同方差条件）而且，在大样本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性。,以一元线性回归模型为例进行说明：,（1）仍存在无偏性：证明过程与方差无关,
7、（2）不具备最小方差性,2、变量的显著性检验失去意义,在该统计量中包含有随机误差项共同的方差，并且有t统计量服从自由度为(n-k-1)的t分布。如果出现了异方差性，如上所述，异方差下 与用OLS法估计得到的结果不同，t检验就失去意义。其它检验也类似。,3、模型的预测失效,一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；另一方面，在预测值的置信区间中也包含有随机误差项的异方差矩阵。所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。,三、异方差性的检验,1、检验的思路2、图示检验法3、解析检验法（1）戈德菲尔德-夸特（Goldf
8、eld-Quandt）检验（2）戈里瑟（Gleiser）检验与帕克（Park）检验（3）White检验（大样本下）（4）ARCH检验（5）Spearman等级相关系数检验,1、检验方法的共同思路,由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。问题在于用什么来表示随机误差项的方差,一般的处理方法：,2、图示检验法,（1）用X-Y的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）,看是否形成一斜率为零的直线,3、解析法,（1）戈德菲尔德-夸特（
9、Goldfeld-Quandt）检验 G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大(一般讲不得低于参数个数两倍以上)、异方差递增或递减的情况且残差要服从正态分布，当然其余条件也要满足（异方差除外）。,G-Q检验的思想：先将样本一分为二，对子样和子样分别作回归，然后利用两个子样的残差之比构造统计量进行异方差检验。由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。,G-Q检验的步骤：,将n对样本观察值(Xi,Yi)按解释变量观察值Xi的大小排列；将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个
10、子样样本容量均为(n-c)/2；,注意：,当模型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。此法只适用于递增型异方差。对于截面样本，计算F统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。,（2）戈里瑟（Gleiser）检验与帕克（Park）检验,戈里瑟检验与帕克检验的思想：,如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。,Glejser检验的思想的判断（一种经验方法）大样本情况下较好,根据回归模型的显著性和拟合优度来判断是否存在异方差。,H.Glejser曾提出的假定函数形式|ei|=kXi+ui|ei|=kXi+ui|ei|=k/Xi+ui|ei|=k/
11、Xi+ui|ei|=m+kXi+ui,注意：由于f(Xj)的具体形式未知，因此需要进行各种形式的试验。,Glejser检验的特点是：,既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。计算量相对较大。当原模型含有多个解释变量值时，可以把残差拟合成多变量回归形式。,(3)White检验（大样本下）,基本思路：,White检验的具体做法,White检验的具体做法,(4)ARCH检验,ARCH检验的具体做法,（5）Spearman等级相关系数检验,利用最小二乘法进行回归分析，计算残差原假设：同方差；备择假设：异方差对解释变量Xi和 分别按从小到大的顺序排
12、列，并赋予1到n中的一个顺序号表示其等级对每个下标i，计算Xi和 的等级差 计算等级相关系数计算统计量当，等级相关系数不明显，接受原假设，同方差；否则存在异方差,（5）Spearman等级相关系数检验,四、异方差性的估计,修正方法加权最小二乘法(WLS)Weighted Least Squares1、基本思想2、例子3、一般情况4、求权矩阵的实用方法5、步骤6、注意事项,最小二乘法的基本原则是使残差平方和最小。在同方差的假定下，OLS的运用是每个残差平方有相同的权数（权数为1），也就是在最优化过程中，对各点的残差平方所提供信息的重要程度是一样看待的；在异方差的假定下，由于不同的解释变量使残差偏
13、离均值的离散程度不一样，这样应该对不同的残差平方和赋予不同的权重。,1、加权最小二乘法的基本思想,加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。例如，在递增异方差下，对来自较小Xi的子样本，其真实的总体方差较小，Yi与回归线拟合值之间的残差ei的信度较大，应予以重视;而对较大Xi的子样本，由于真实总体的方差较大，残差反映的信息应打折扣。,详细说明,加权最小二乘法就是对加了权重的残差平方和实施OLS法：对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。,2、一个例子,例如，如果在检验过程中已经知道：,3、一般情况,
14、对于模型 Y=XB+N,这就是原模型的加权最小二乘估计量，它是无偏、有效的。这里权矩阵为D-1，它来自于矩阵W。,4、求权矩阵W的一种实用方法,从前面的推导过程看，它来自于原模型残差项U的方差-协方差矩阵，因此仍然可对原模型首先采用OLS法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即,5、加权最小二乘法具体步骤,6、注意,在实际建模过程中，人们通常并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。如果确实存在异方差，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。,五、案例1某地区居民储蓄模型,某地区31年来居民收入与
15、储蓄额数据表,1、普通最小二乘估计,2、异方差检验（1）图示检验,G-Q检验,求两个子样本（n1=n2=12）回归方程的残差平方和RSS1与RSS2；,计算F统计量,F=RSS2/RSS1=769899.2/162899.2=4.726,从而该总体随机项存在递增异方差性。,Park检验,显然，lnXi前的参数表现为统计上显著的，表明原数据存在异方差性。,3、异方差模型的估计,与OLS估计结果相比较，拟合效果更差。为什么？关于异方差形式的假定,与OLS估计结果相比较，拟合效果更好。,五、案例2居民消费二元模型,1、OLS估计结果,2、WLS估计结果,3、比较,各项统计检验指标全面改善R2:0.9
16、997390.999999F:28682980736e2:43861329437 t:6.4 22.0 4.225.2 134.1 22.9D.W.:1.451.81,案例3 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型（课本第125页）例5.1,已知某地区的个人储蓄Y，可支配收入X的截面样本数据，建立他们之间的线性计量经济模型并估计。根据经济理论建立模型：,案例3 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型（课本第125页）例5.1,异方差检验,1 图示法2 Goldfeld-Quandt 检验3 white 检验,1 图示法,2 Goldfeld-Quandt 检验,3 white检验,White检验,
17、White检验式,White检验的EViwes操作：在回归式窗口中点击View键选Residual Tests/White Heteroskedasticity 功能。(含有无交叉项两种选择。),处理异方差的方法加权估计（WLS）方法（1）,点击此处,填入权数,加权估计（WLS）方法（1）,加权估计（WLS）方法（2）:用加权变量回归,continue,自己把回归式还原为Y对X回归情形。回归系数OLS估计结果是0.088，WLS估计结果是0.090。0.09的统计特性更好。,对于截面数据一定要先按解释变量排序才有可能观察到异方差,案例4：取1986年中国29个省市自治区农作物种植业产值yt（亿
18、元）和农作物播种面积xt（万亩）数据（file:hete01，hete02）研究二者之间的关系。得估计的线性模型如下，yt=-5.6610+0.0123 xt(-0.6)(12.4)R2=0.85,T=29,残差图中看不到异方差（左图）。原因是没有把数据按解释变量排序。数据排序并估计后得到的残差图明显存在异方差（右图）。,附录：用EViews 4.0给序列中的数据排序在Workfile窗口点击Procs键并选择Sort Series功能，将出现一个要求填写以哪一个序列为标准（基准序列）排序的对话框。填写基准序列名，并在下侧的另一个选择框中说明是按从小到大排列（Ascending），还是从大到小排列（Descending）。缺省的选择是从小到大排列。,附录：用EViews 5.0、6.0给序列中的数据排序在Workfile窗口点击Proc键并选Sort Curent Page功能，将出现一个警告栏。,点击Yes后，将出现一个要求填写以哪一个序列为标准（基准序列）排序的对话框。过程与EViews 4.0相同。注意，这种操作是把工作文件中所有的变量都以选定的变量为标准排序。所以若希望保留原数据时，应先备份一个工作文件。,
