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1、1,第七节 函数的微分,一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、微分形式的不变性七、小结,2,一、问题的提出近似计算问题,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,3,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,4,二、微分的定义,定义,(微分的实质),5,由定义知:,6,三、可微的条件,定理,证,(1)必要性,7,(2)充分性,(定义),8,例1,解,9,则有,自变量的微分,记作,从而,记,10,四、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),以直代曲,Q,11,五、微分的求
2、法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,12,2.函数和、差、积、商的微分法则,13,六、微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,14,例2,解,例3,解,15,例4,解,16,解：,例6,例5,解,17,由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法 在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学,18,例7,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,19,七、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,导数与微分的联系:,作业 p67 21（2）、（4）,20,思考题,21,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,22,练 习 题,23,24,练习题答案,25,
