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1、一、行列式,1.定义,说明,1、行列式是一种特定的算式，而矩阵是数表;,2、阶行列式是 项的代数和;,3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、的符号为,6、常用的：三角行列式,8、方阵的行列式,运算性质,（A为n阶方阵）,7、关于代数余子式的重要性质,用定义计算（证明）,2、计算（证明）行列式的方法,利用范德蒙行列式计算,用化三角形行列式计算,用降阶法计算,用拆成行列式之和（积）计算,用递推法计算,用数学归纳法,计算行列式的方法比较灵活，在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用
2、常用的几种方法,例1 计算 阶行列式,解,将第 列都加到第一列得,例2 计算,解,(1)当 有两个相等时，显然,(2)当 互异时，为利用范德蒙行列式，,适当添加一行一列得到：,按最后一列展开，得到：,根据根与系数的关系，有,而,二、矩阵,1、矩阵的定义,简记为,由 个数排成的 行 列的数表,2、矩阵的运算,并把此乘积记作,设 是一个 矩阵，是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵，其中,注意矩阵与矩阵相乘不满足交换律和消去律，即：,3.几种特殊矩阵,记作,称为对角矩阵.,(二)方阵,称为单位矩阵.,（三）,设 为 阶方阵，如果满足，即那末 称为对称阵.,(四)逆矩阵.,(7)逆矩
3、阵的计算方法,逆矩阵 存在,(6),（五）为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,性质:,对于n阶正交矩阵A,B,(六)相似矩阵.,（4）若 阶方阵A与对角阵,三、向量,1、向量组的线性关系：,(1)若一组数,使得下列线性关系式成立:,此时,（2）,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,（3）线性相关性的判定：,（4）最大线性无关组的判定：,由定义,设有向量组,若在 中能选,出 个向量,满足,(1)向量组 线性无关;,(2)向量组 中任意 个向量都线性,相关.,无关组,则称向量组 是向量组 的一个最大线性,注:,只含零向量的向量组没有最大无关组;,向量组的最大无关组可能不止一个,其向量
4、的个数是相同的(称为向量组的秩).,但由定义知,列向量组的秩,矩阵的秩=组成矩阵的,若向量组是带分量的，则求秩可利用：,2、向量空间：,(1)定义,设 为 维向量的集合,若集合 非空,且,集合 对于加法及数乘两种运算封闭,即,(1)若,(2)若,则称集合 为向量空间.,则,则,(2)向量空间的基与维数,若把向量空间 看作向量组,量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩;,(3)向量在基下的坐标,如果在向量空间 中取定一个基,那么 中任一向量 可唯一地表示为,在 维向量空间 中单位向量组,(4)向量空间的标准正交基,的一个基,且是,两两正交的非零单位向量组,则为标准正交基.,3、特征向量：,定义；
5、,非,特征向量的求法:,可求得非零解,则,例3,求向量组,的秩和一个最大无关组.,解,对下列矩阵作初等行变换:,=,且,时,则,无关组;,时,则,大无关组.,四、线性方程组,1.,解向量的概念,2.,齐次线性方程组,齐次线性方程组解的性质,基础解系的定义,基础解系的求法,解空间及其维数,3.,非齐次线性方程组,非齐次线性方程组解的性质,非齐次线性方程组的通解,五、二次型,建立二次型与对称矩阵之间的一一对应,关系，,从而可将二次型的化简问题(即化为标准形)转化为,将实对称矩阵化为对角矩阵的问题，,故要把二次型,关键,在于求出一个非奇异矩阵,角矩阵，,且有,1.化二次型为标准形的方法,用配方法化二次型为标准形,用初等变换化二次型为标准形,用正交变换化二次型为标准形,2.二次型有定性的概念,3.正定二次型的判定方法,(1)定义法；,(2)顺序主子式判别法；,(3)特征值判别法.,
